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方程式の文章題の解き方2

10月26日に続いて今日も方程式の文章題の解き方を記事にします。手元にある問題集から今日も時間と道のりの問題です。



2つの地点A BがありA地点からB地点までの道のりは700mである。太郎さんはA地点からB地点へ、花子さんはB地点からA地点へ向かって同時に歩き出して途中で2人は出会った。太郎さんの歩く速さを毎分80m、花子さんの歩く速度を毎分60mとするとき、太郎さんと花子さんは歩き出してから出会うまでに歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。



問題の文章の言葉をそれを解くために置き換えます。A、B両地点は700m離れていてそれぞれ反対方向から歩いてきた太郎さんと花子さんが出会うので、太郎さんと花子さん二人の合計で700m歩いた地点で二人は出会うわけです。なので太郎さんが歩いた距離をxメートルとすると花子さんが歩いた距離は(700-x)メートルです。時間は道のりを速度で割ると出ます。


なので太郎さんが花子さんと出会うまでにかかって時間はx/80です。(太郎さんの速度は分速80m) 花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間は

(700-x)/60です。(花子さんの速度は分速60m) 太郎さんが花子さんと出会うまでにかかった時間と花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間はもちろん等しいのでx/80=(700-x)/60がなりたちます。両辺を80と60の最小公倍数240倍すると3x=4(700-x) 3x=2800-4x 7x=2800 x=400です。
なので700-x=700-400=300 なので答、太郎さん400m 花子さん300mです。



太郎さんと花子さんが出会うまでにかかった時間をxとしても解けます。道のりは速度×時間なので太郎さんが花子さんと出会うまでに歩いた道のりは80xメートル、花子さんが太郎さんと出会うまでに歩いた道のりは60xメートルです。


二人が歩いた距離の合計が700mになったときに二人は出会います。(A、B両地点の道のりは700mだから)なので80x+60x=700 140x=700 x=5 なので二人は5分後に出会います。5分で太郎さんが進む道のりは80×5=400m 花子さんが進む道のりは
60×5=300m  なので答え、太郎さん400m 花子さん300mです。


このように進んだ道のりをxとして式をたててもかかった時間をxとして式をたてても同じ結果になります。



頑張りましょう。



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天然ボケ

朝、浜村淳さんのラジオを聴いた。東京ラブストーリーという30年近く前のテレビドラマの話題になった。「あのときの鈴木保奈美さんは本当にショートヘアでカッコよかったです」と浜村淳さんが言った。「あのとき保奈美さんは髪長かったですよ」アシスタントの鳥居睦子さんが言った。「そうですよ。あのときは髪長かったです」と若手のアシスタントの女性も言った。


浜村さんしばらくポカーンという感じになってしまって言葉が出てこなかった。ラジオの音声が空白になってしまった。そして、浜村さんは気をとりなおしたように「なんであんた若いのに鈴木保奈美さんが髪長かったって知ってるの?」と若手の女性アシスタントに言った。「再放送見ましたもん」とそのアシスタントは答えた。「そうか再放送見たんですね」と浜村さんは言った。


僕も東京ラブストーリーは見てなくて、それでも90年代の鈴木保奈美さんはショートカットのカッコいい女性というイメージを持っていたので浜村さんにだまされるところだった。


それにしても浜村さん天然のボケで本当にいい味だなと思う。自然体でいるから天然のボケも出るしミスしたら若い子にすぐフォローしてもらえるのかなと思う。きっとそれが浜村さんが80才過ぎても毎朝、生放送を続けられる秘訣なのだろう。僕もあやかりたいと思うのだけれど、、、。


保奈美さんって浜村さんから見れば娘くらいの年齢だけれどそういう人のこと素直にカッコいいと言えるところもなんか尊敬してしまう。



新聞を見ると東北本線が全線17日ぶりに開通と出ている。台風19号の影響で線路の敷石が流れてしまい運転できない区間があったという。本当に鉄道って何かあっても必死になって復旧してしまうところがすごいと思う。


新聞には福島県の須賀川駅のホームに電車が到着した瞬間の写真が出ている。普段、大阪府にすんでいるとなんか片田舎の駅のよう見える。ちょっとJR島本の駅に似ているような気もするけれど、、、。


ホームから電車に乗ろうとしている人の姿を見ると今、島本町や高槻の町を歩いている人よりも厚手のコートやブルゾンを着ている。東北だから寒いんだと思って須賀川の昨日の気象情報を見ると最高気温は14度、最低気温は9度となっている。島本や高槻で言えば十一月下旬から十二月上旬くらいの感じだろうか。


しかし、高槻あたりなら十二月の初旬頃はもっと多くの人がマフラーをしていると思うけれど福島県須賀川の写真を見るとマフラーをしている人はいない。やはりもっと厳しい寒さが待っているからこの程度の寒さではまだマフラーをしないのだと想像する。身体が寒冷な気候に慣れるということなのだろう。また、福島や千葉にも平穏な生活が戻るようにと願う。



阪急水無瀬の駅前の桜の葉がすこしだけ紅に色づいてきている。大阪でもだんだんこれから紅葉の季節になっていくのだろうと思う。

   


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安全運転

新聞を見ると自転車に乗りながらスマホを操作していて重大事故につながることがあるという記事が出ています。


本当にスマホを操作しながら自転車を運転するって怖くないのかと思います。僕はスマホを見ながら自転車を運転したりすることには臆病な方です。それと、自転車でスピードを出して飛ばすことにも臆病です。


僕は岐阜県で小中高等学校とすごしたのでよく友達と自転車で遠出をしました。あるときM君とS君それに僕の三人で自転車で山あいの村へいきました。山あいに行く道は坂が多いので下り坂になるとM君はほとんどブレーキをかけずにまるで下り坂の等加速度運動に身をゆだねるかのようにぐんぐん自転車を加速していきました。


S君は積極的に自転車を加速したというわけではありませんがまあM君が走るならということでS君も自転車を加速していきました。僕は下り坂だからといって自分が普段出さないような速い速度を出すと取り返しのつかないことになりそうで怖かったので「おーい、待っとってくれえ、スピード出しすぎや」と先に行った二人を呼ばりました。しかしM君はなかなか自転車の速度を落としてくれません。S君もM君についていきます。僕が後ろから呼ばるとM君はますます面白がって自転車を加速させているようでした。


さいわい山あいの下り坂はそんなに長く続くわけではないので下り坂が終わると僕はM君とS君に追いつきます。しかし下り坂になるとまたM君は自転車を下りにまかせて加速するので僕はまた「おーい、待っとってくれえ。スピード出すぎて怖いんや」と言いました。それでM君は速度を落としてくれると思ったのですが逆でした「なんやお前こんなこと怖いんか」といってますます面白がって自転車を飛ばすという感じでした。

もうこれはあかんと僕は思いました。ここまで必死にM君とS君を追いかけてきたけど、よく考えればここは山道だからまっすぐに引き返せば一人でもとの場所に戻れるんや。冷静にならなあかん、と僕は思いました。


そして次の坂でM君、S君に引き離されたタイミングで僕は黙って道を逆の方に引き返しました。ずっとまっすぐ戻ってくるとやがて僕がすんでいる町の市街地のはずれに出てそこからは見覚えのある道だったので無事に家に帰ってきました。

まあ、いまから思えばあれはちょっとしたいじめだったのだと思います。いじめた方は軽い気持ちなのでしょうがいじめられた方は40年以上たっても覚えているということがあります。やはり安易に他人をいじめるのは慎むべきです。

スマホと自転車の話がとんでもない方にそれてしまいましたが、下り坂で飛ばしすぎると危ないのと同じように、スマホを見ながら前方不注意だと取り返しのつかないことになるという危機感があればスマホを見ながら自転車を運転することが怖くなるはずとおもいます。

スピードについてもそう。速度が2倍になるとぶつかったときの衝撃は2の2乗つまり4倍になります。ぶつかったときの衝撃は速度の2乗に比例します。なので20キロの速度でぶつかったときの衝撃を2の2乗の4とすれば30キロメートルの速度でぶつかったときの衝撃は3の二乗の9になります。

こういうことを意識しているだけでも安全運転につながるのではないでしょうか。あと、僕は前方からスマホを見ながら歩いてくる人を見たときにはその人がこのままいけば進むであろう進行方向のなかには入らないように心がけています。お互いに気をつけてなるべく安全にすごしたいものだと思います。



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車での移動

新聞を見ると千葉や福島県の豪雨でなくなった方の半数が車の中でなくなったと出ています。この記事に自動車は水深30センチの水で巻き上げる水がエンジンルームに入ってエンジンが停止する可能性がある。水深60センチだとしばらく走ってやがてエンジンが止まると書いてあります。ということはもう歩いていて足の甲が覆われるくらいの水深になったら車は降りなあかんということなのかと思いました。



ずいぶん昔に、雷の時は車の中に入ると安全とテレビでやっていました。雷が車の金属製の部分を伝わって地面に逃げるのでいわば車がアースのような役割をはたして安全と言っていました。それはうそではないと思うのですが水には車は弱いということを心に留めておきたいと思いました。



車でなくなる人が多いと聞いて東北大震災の時の津波の映像でほんとうに車がいともたやすく水の中に巻き混まれていったことを思い出しました。僕はちょっと怖いもの見たさのところがあってあのとき津波の動画をけっこう繰り返して見たのです。



だれが動画をネットにアップしたのか知りませんがあの当時、津波の映像をユーチューブで見ると次の動画という画面にしばしば菅原洋一さんが歌うサザンオールスターズのTSUNAMIという歌がアップされていました。



それは菅原洋一さんが必要最小限の静かな伴奏でしっとりと歌ったものでその歌を聴くと妙に心が落ちつく気がしました。歌もアレンジの仕方や歌いかたによってずいぶん印象が違うのもです。



関西にいても家族が千葉や福島におられるというかたは本当に関西よりも現地のニュースの方が気になってしまうところだと思います。このように台風や洪水の被害が多いことと地球温暖化の関係はあるのでしょうか。僕はなんとなくあるように思います。



最近読んだ本に例えば森林をつぶしてそこに太陽光パネルをしきつめるといままで森林が熱を吸収していたのに太陽光パネルは熱を反射してしまう、そして上昇気流が起こって地球の温暖化に一役買ってしまう。というようなことが書いてあって、いや、その可能性はおおいにあると思いました。



また、太陽光パネルは太陽光発電をしているので水に濡れたときにへたに絶縁していない手でさわると感電の可能性があるということもその本に指摘してありました。今回の豪雨で太陽光パネルの屋根から水か漏れるという被害を新聞で読んだときに、屋根の修理は慎重にするに越したことはないと思いました。



洪水の被害にあう可能性を少しでも低くするためになるべく割り箸をつかわないとか環境に配慮した生活も大切なのではないかと思いました。


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みんなで歌おう

高槻市では10月5日から11月10日まで文化祭ということでさまざまな催しが市内で開かれています。その中から昨日は高槻現代劇場で催された「みんなで歌おう日本の歌百選」と銘打ったコンサートに行ってきました。


高槻市少年少女合唱団と大人の市民コーラス3組が順に出演してその出演者の歌に合わせて会場のみんなで日本の歌百選の中から33曲を歌いました。


日本の歌百選というのは2006年に文化庁と日本PTA協議会が親子でも長く歌いついでほしい6671曲の中から親から子、子から孫へ親子で歌い継ごう日本の歌百選として童謡、唱歌、歌謡曲など101曲を選定したものと当日配布された冊子に書いてありました。


百選なのになんで101やのと思いましたが、まあおよそ百くらいということなのだろうと考えました。


高槻少年少女合唱団がうたったのはほとんど童謡でした。以前にこの合唱団のコンサートに行ったときよりも人数が少ないように思いました。そうしたら演奏の途中で合唱団の先生から「最近は土曜日は小中学生もいろいろ忙しいようで。特に私立にいっている子は土曜日も忙しいです。それで今日は20名の出演になりました」という説明があったのでそういうことなのかと納得しました。合唱の先生もそうやってみんなの都合を考えてしなければならないので大変だなとも思いました。


当日うたった33曲はほんとうに歌が好きな人ならみんな知っているような曲ばかりで33曲歌い終わって気づいたらみんな過去にどこかで聞いたことのある歌でした。


先生が「今日は親から子、子から孫へと受け継がれる歌ということですがこれらの歌はここに立っている合唱団の子もうたったことのない歌が多いです」とおっしゃいました。なるほど最近は子供や若い人が唱歌、童謡の類いを歌ったり聴いたりしなくなったなと思いました。

少年少女合唱団と一緒にうたった歌の中から、ぞうさんという歌の2番はこんな歌詞です。



ぞうさん ぞうさん

だれがすきなの

あのねかあさんが

すきなのよ



あまりに純朴な歌詞で、ぞうさん ぞうさん
 
だれがすきなのまで歌ったらちょっとうるうるっと来ました。

あのねかあさんが すきなのよ という部分の「あのね」という言葉の選び方が天才的ではあると思いました。


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方程式の文章題の解き方

中学一年生の生徒さんと勉強するときは方程式の文章題が中学校で最初の関門やぞ、いつも言っています。僕自身も中一の時、方程式の文章題がなかなかわからなくて、ひょっとしたらこのままついてけなくなるかもと思ったことがありました。中一の期末テストで方程式の文章題はなんかあまり解けなかった記憶があります。夏休みに文章題をもう一度おさらいして苦手意識を克服しました。



さて僕の手元にある問題集の問題を一問みてみます。



A町からB町まで時速10kmの自転車でいくと、時速4kmで歩いていくより1時間早く着きます。A町からB町までの道のりを求めなさい。



A町からB町までの道のりをxkmとします。



時間の等しさをもとにして式をたてることを考えます。



時間はどうやって出すかというと、300kmの道のりをお父さんが時速60kmの車で走れば300/60=5時間となります。

このように道のりを速度でわると時間がでます。

このことに着目して式を立てます。

まずxkmの道のりを時速10kmで行くときの時間はx割る10つまりx/10です

同様にxkmの道のりを時速4kmで行くときの時間はx割る4つまりx/4です。

時速10kmで行くときの時間は時速4kmの時の時間より一時間少ないので
x/10=x/4-1です。

両辺を20倍して

2x=5x-20 3x=20 x=20/3となり、答え20/3kmです。



道のりの等しさをもとにして式をたてることもできます。

A町からB町までの道のりは時速10kmで行っても時速4kmで行っても等しいですからこのことに着目します。

時速10kmでA町からB町に行くのにx時間かかるとすると時速4kmだとそれより1時間多くかかることが問題文からわかるので4kmでA町からB町まで行ったときの時間は(x+1)時間です。

時速10kmで行っても4kmで行ってもA町からB町までの道のりは等しいので

10x=4(x+1)です。


ここでは距離は速度×時間ででることを使って式を立てています。時速60kmの車でお父さんが5時間走れば進んだ距離は60×5=300kmであることを連想すればわかりやすいと思います。


これを解くと

10x=4x+4 6x=4 x=2/3となります。


ここで答え2/3kmとやると間違いです。式をたてるときに今度はxは道のりではなく時間で立てているのでそのことを忘れるとケアレスミスになってしまいます。
この場合xは時間として式を立てているのでA町からB町まで

時速10kmでいくと2/3時間かかることがわかります。

道のりは時速10kmの早さで2/3時間進む道のりなので10×2/3=20/3
 
なので、答え20/3kmとなります。



道のりの等しさをもとに式を立てても時間の等しさをもとに式を立てても結果は同じになります。がんばりましょう。



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正負の計算

僕が小学校高学年の頃、友達の間で「僕マイナス100円落とした」とか「マイナス100円拾った」という表現が流行ったことがあります。僕は何でそんなややこしい言い方がはやるんや、と思いました。しかし、友達同士の会話の流れからマイナス100円拾ったということはつまり100円落としたと言うことでマイナス100円落としたということは逆に100円拾ったということなんやなと理解しました。その理解でちゃんと僕なりに会話についていってたのでその場はその理解でよかったわけです。



さて中学に入ると数学ではまず正負の数の計算が出てきます。1-(-1)=2という数式は中学校ではじめて出てきます。なぜ、マイナス1を引くと1足したのと同じことになるのか。これを考えるとき僕は小学校の時の友達の言い方を思い出しました。



マイナス100円落としたというのは逆に100円拾ったということ。つまりマイナスは逆。だからマイナス1引くとことは逆に1足すことと僕はその時覚えました。結局僕の場合、負の数を考えるときはその時の体験を思い出します。負は正の逆だと。特にマイナスは逆というのはマイナスの数を考えるとき大切な発想と思います。



数を説明するときはなるべく数直線を使うようにしています。数直線で見えるようにすると理解しやすいからです。5-3というのを数直線で考えると5という数を起点にしてそこから左へ3行った数、つまり2となります。なので5-(-3)は逆に5を起点として左の逆方向つまり右へ3つ行った数である8となります。ここでも僕はマイナスは逆という考え方をします。



掛け算はどうでしょう。5×3は0を起点として5の3回分右へ行った数つまり15となります。この説明を式に置き換えると5×3=0+5+5+5つまり0を起点として5の3回分となります。なので5×(-3)は0を起点として5の3回分右と逆の左へ行った数つまり-15となります。



マイナス同士の掛け算(-5)×(-3)はどうでしょう。これを考えるにはまず-5×3は-5が0を起点にして左に5行った数なのでその3回分つまり左へ15行った数-15なので-5×(-3)は逆に右へ15行った数15となります。掛け算になると足し算の時と比べてこの数直線とマイナスは逆というイメージを使った説明はちょっとしんどくなるような気もしますが、僕の場合とりあえずそんなふうに説明します。



割り算はどうかというと、この類比を使った説明ではちょっとしんどくなりますね。しかし割り算は逆数の掛け算なので中学校では割り算は割り算と考えるより逆数の掛け算と考えたほうがいいよと僕は生徒に言うようにしています。



数学って例えば1+1はなぜ2になるの。というようにもっとも基本的なことほどなぜを考えるのが難しいようにおもいます。僕が勤めていた予備校の数学でとても実力のあった先生がパンフレット用の原稿でよく「ようわからん。覚えてしまえ。でのりきって来た諸君は僕の授業を聞けば目からうろこが落ちるだろう」という感じの言い回しを使っていました。



なのでこういうのは気が引けるような気もするのですが正負の計算はなぜということをとことん考えるよりもルールを覚えてそれになれることが大切と結局はそう生徒に話しています。



しかし、覚えろだけではなかなか身につかないので僕なりに考えて上記のような説明をしている次第です。



ずいぶん以前にご縁のあった生徒さんでいつまでたっても正負の計算ミスをしばしばする子がいました。ノートを見ると5-(-3)と書くべきところに5--3と書いてあります。これではまぎらわしくなって計算ミスを誘発してしまいます。「-3の所かっこでくくってないやないか。正しい書き方をせえへんからいつまでたっても正しい計算ができんのや」とそのときは僕にしてはめずらしくその生徒さんにちょっときつい言い方をしてしまいました。



しかし、数学のように正しい筋道を追うことが大切な教科では正しい書き方をするのは必須ですよ。


               
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書いて覚えるか読んで覚えるか

受験業界で仕事をしていると、勉強は書いてマスターするのがいいのか読んでマスターするのがいいのかということが話題になることがあります。僕が勤めていた予備校で英語の人気講師のS先生が職員の前で勉強方法についてレクチャーされたことがありました。



「英単語をずーっとたくさんノートに書いて手の小指の側が真っ黒になるまで書いている子がいますが書いても書いてもなかなか覚えられないというケースもかなりあります」とS先生はみんなの前でいいました。本当に手が黒光りするくらい真っ黒になるまで単語を書いても単語テストなどになるとなかなか成果が上がらないという生徒さんを僕もときどき見てきたのでS先生のおっしゃることが僕には
わかる気がしました。



質疑応答の時にある職員が「僕は書いて覚えるように生徒に指導しているのですが書くのは効果がないんですか」と質問しました。「いや、そういうわけではないので書くのもいいと思います」とS先生は答えました。



結局書いても覚えられない生徒さんはいますが書いても効果が上がらないということはもちろん言い切れるわけではありません。



僕は予備校勤務時代、自習室当番になったときにそこで勉強する生徒のことをいろいろ見ていました。書いても成果があがらない生徒さんを見ていると
もう手が真っ黒になるまでひとつの単語をノートに1ページつかって書いて書きまくっています。そして僕は思いました。あの子は書いて覚えているというよりも
書くことそのものに一心になってしまっていると。



英単語など比較的単純暗記(こういう言い方は語弊があるかもしれませんが)に属する事柄を書いて覚えようとすると、しばしば覚えるという意識が知らない間に薄れてしまって覚えるよりも書くことそのものに集中してしまうという状況が生まれるように思います。



なので僕は基本的に英単語とか社会の用語などは書くよりも答えのところをしおりなどで隠して目で見て覚える、つまりは読んで覚えるといいよというふうに生徒には話してきました。



ただ、見ておぼえさえすればいいかというと単語でもつづりがどうしても覚えられないというときは書いて手を動かすことで覚えられることはあります。
これはいつもワープロで文字を書いていて実際に紙の上で手を動かして文字を書くことをしないと、いざ手書きの時に漢字が書けなくなってしまうことをイメージすればわかりやすいと思います。



同様に社会などでも用語の漢字が難しいなどの場合は書いて覚えるということも大切です。要は目で見て覚えるにしても書いて覚えるにしても今はなぜ目で見るのか、なぜ書くのかという目的意識をしっかり持つことが大切ということです。書いて覚えるつもりが知らぬ間に書くことそのものに一心になってしまていたというように覚えるという目的を忘れてしまうとなかなか覚えられません。この点に注意しましょう。



僕の高校時代はまだコピーがそんなに普及していなかったので期末テストの前になると友達にノートをかりて必死に写しているH君という子がいました。その子は授業をぼーっと聞いていたのでノートもとっていなかったりしたのです。

テストの前になると貧乏ゆすりをしながら机にかぶりつくようなかっこうでもう一心に友達のノートを写していました。先生がH君の後ろに立って「H君は授業中にいったい何をやっているのかな?」と言っても気づかないくらいH君は一心に友達のノートを写していました。



そのH君も写して覚えるというよりもう写すことそのものに集中している感じだったので成績は落第しない程度というものでした。



さて英単語や社会の他に数学という教科があります。この教科に関しては僕は読むことよりもむしろ書くことを重視しています。数学は解答の筋道をちゃんと追うことが大切な教科です。紙に書いて視覚化して、ひとつひとつ解答にいたる筋道を確認しながらマスターしていくことで学力がしっかりつくと考えています。



しかし、これも短時間で解法の定石をおさらいしたいという時には読んでおさらいするというほうが効率のいい場合もあります。




ということで僕が考えていることをざっとまとめると



英単語や社会の用語のようにどちらかというと覚える系のことは目で見て覚えたほうがよい。書いたほうが覚えやすいと言う人はそれもOKだけれど書くことそのものが目的になってしまわないように注意が必要。



数学など解答の筋道をしっかり追うことが大切な教科は筋道を追いながら書くことが大切。ただし、短期間で定石や公式的なことをおさらいしたいときは目で見ることも有効。



ということになります。



これは僕の考えで実際は個々の生徒さんによってどの方法が効果が上がるかは異なるので、それは実際の生徒さんをみながらアドバイスするようにしています。



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