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高槻市 島本町家庭教師ナカシマの数学の勉強48 式による証明

お問い合わせお待ちしています。tel090-9884-7947ナカシマ(中島)
家庭教師ナカシマは2020年4月1日より授業料を60分2000円 90分3000円 に改定しました。これにより家庭教師がさらにリーズナブルな価格で始めやすくなりました。

授業料、家庭教師が阪急水無瀬駅またはJR島本駅からご家庭までの移動に使う公共の交通機関の交通費 もし市販の問題集を使用する場合はその実費(教材はお手持ちのものを優先的に使用)、それ以外の費用は一切かかりません。料金について詳しくはお問い合わせください。明朗会計に努めます。以上の価格はすべて税込み価格です。

今日は数学の勉強をします。

問題
連続する2つの奇数を2m+1 2m+3とするとき、これらの奇数の二乗の差は、8の倍数になることを示しなさい。

説明
二乗の差はそのまま与えられた式の二乗の差を計算します。

すると
(2m+3)²-(2m+1)²
=4m²+12m+9-4m²-4m-1
=8m+8=8(m+1)
m は整数なのでm+1は整数
なので8(m+1)は8の倍数。
つまり連続する奇数の差は8の倍数である。


連続する奇数の二乗の差、例えば7の二乗と9の二乗の差は
9×9-7×7=81-49=32=8×4で確かに8の倍数ですね。
しかし個々の数で確かめたのではあくまで個々の場合のことしか
証明できませんが文字で証明することで一般的に証明することが可能になります。

私達は話をしていて一般的事例について話をしているのか個々の事例について話しているのかわからなくなってしまうことがあります。

また、個々の事例が話題になっているのか、一般的な事例が話題になっているのかが理解できなくて話を取り違えて理解してしまうということも経験すると思います。

数学を学ぶと一般的事例と個々の事例を区別する思考力が養われるので、そういう話の取り違えとか誤解を生む可能性がなくなるというわけにはいきませんが少なくなるとは思います。
そして、そういう力は自分がものを人に説明したりまた話を理解するために大切な力のひとつと言えると思います。

しっかりとプレゼンテーションができる力を養うためにも数学の考え方は大切と思います。

コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。

大阪青凌高校が島本町に移ってから島本町内で高校生の子の姿を見ることが多くなりました。


※実際の家庭教師の授業では教材はお手持ちのものを優先的に使います。そうでない場合は入試傾向にそった市販の問題集等を使用しますので教材費はもしかかったとしても一冊あたり1000円から2000円くらいです。
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大阪府高槻市 茨木市 三島郡島本町 の家庭教師

学校教材の復習を中心に、基礎から丁寧にお教えします。

家庭教師ナカシマは個人契約の家庭教師です。

平均点くらいの生徒さんに。不登校の生徒さんの相談もお受けします。

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数ある塾や家庭教師からナカシマを選んでいただきましたら、できる限り丁寧に教えて勉強ができるようになるように努めます。

■2020年4月1日より家庭教師の授業料を60分2000円 90分3000円 120分4000円に改定します。これによりさらに家庭教師が受講しやすくなります。■
































































高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強47 いろいろな因数分解

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今日は数学の勉強をします。


問題
次の式を因数分解しなさい。
(3x+1)(x-4)-2(x-1)²+16
※問題は文英堂くわしい問題集数学中学三年より引用

説明
与えられた式を展開すると
3x²-12x+x-4-2x²+4x-2+16
=x²-7x+10
=(x-2)(x-5)

なので答え (x-2)(x-5)

そのままの形では糸口が見えないので展開すると積が10 和が-7になる数の組み合わせをみつけるパターンの問題です。

因数分解のパターンはそれほど多くはなく特別のことをしなくても教科書に沿った問題集を繰り返し解けば入試の大概の問題は解けるようになります。

このような勉強の方針の立て方も家庭教師では伝えていきます。

コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。

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※実際の家庭教師の授業では教材はお手持ちのものを優先的に使います。そうでない場合は入試傾向にそった市販の問題集等を使用しますので教材費はもしかかったとしても一冊あたり1000円から2000円くらいです。
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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強46 いろいろな因数分解

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今日は数学の勉強をします。

問題
次の式を因数分解しなさい。
(2x+1)(x-3)-(x+2)(x-2)-25

説明
このままでは糸口が見つからないので与えられた式を展開します。

与えられた式
=2x²-6x+x-3-x²+4-25
=x²-5x-24
=(x+3)(x-8)

なので答え (x+3)(x-8)

展開するとx²-5x-24となり
積が-24 和が-5となる2つの数を見つければいいパターンの問題です。

因数分解のパターンはそれほど多くないので特別のことをしなくても教科書の内容に沿った問題集を繰り返しやれば身につきます。
家庭教師ではそういう勉強のやり方というか方針の立て方も伝えていきます。

曇りか雨模様のお天気ですが蒸し暑いですね。
コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。

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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強45 いろいろな因数分解

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今日は数学の勉強をします。

問題
次の式を因数分解しなさい。

(a-1)(a-4)+(a+2)(a-2)
=a²-5a+4+a²-4
=2a²-5a
=a(2a-5)

答え a(2a-5)

特に共通因数が見つからないというときに一回展開してみるとaという共通因数が出てくるというパターンの問題です。因数分解もいくつかのパターンがあるのでそれをマスターすれば入試で大概の問題は解けるようになります。

そしてそのパターンの数は少なく、特別の問題集など使わなくても教科書にそって編集された問題集を繰り返し解けば十分身につきます。
家庭教師ではそういう勉強のコツも伝えていきます。

ずいぶん暑くなりましたね。コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。

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高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強44 二次方程式の解と式の値

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今日は数学の勉強をします。

問題
二次方程式x²-2x-1=0の解のうち負の解をaとするとき
4a²-8a+5の値を求めなさい。
(問題はくわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
負の解aと問題には書いてあります。
しかし解が負であっても正であってもそれは二次方程式

x²-2x-1=0の解であるわけですから
a²-2a-1=0は必ずなりちます。
なのでこれを変形して
a=2a+1①も必ず成り立ちます。
なので
①を与えられた式に代入すると
4a²-8a+5
=4(2a+1)-8a+5
=8a+4-8a+5
=9

なので答え9

実際に負の解を求めてそれを与えられた式に代入してももちろん計算の結果は同じになりますが
上記の方法の方が計算がはるかに楽です。

効率的に解く方法も家庭教師の授業の中ではいろいろ伝えていきたいと思います。

コロナと暑さに負けないように頑張りましょう。

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高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強43 式の値

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問題
x+y=a xy=b
のとき次の式をa bで表しなさい。

(1)x²+y²

(2)(x-y)²
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
(1)x²+y²
=(x+y)²-2xy
=a²-2b

(2)(x-y)²=x²+y²-2xy
=(x+y)²-2xy-2xy
=(x+y)²-4xy
=a²-4b

文字の二次式の計算は小学校の計算と一緒でなれが必要です。しっかり練習してなれるようにしましょう。
(2)は(1)の結果を使って解くことができますね。
理数系の問題は(2)は(1)の結果を使って解くという場合が割と多くあります。
実際の入学試験で時間がないときは(1)だけはgetするという作戦が有効なこともあります。


そのへんのことは実際の家庭教師の授業の中でいろいろ伝授します。

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高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強42 二次方程式の解の存在

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問題
二次方程式x²+3x+2=mが解を持つようにmの値の範囲を定めなさい。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
平方完成の形を作ることが基本です。
与えられた式を変形すると
x²+3x+2=mより
(x+3/2)²-9/4+2=m
(x+3/2)²-1/4=m
(x+3/2)²=m+1/4
ここで(x+3/2)²≧0なので
m+1/4≧0
なのでm≧-1/4
答え m≧-1/4

平方完成の式変形は小学校の計算と同じでなれが大切です。
平方完成ができれば解の公式を試験のときに忘れても大丈夫なので
しっかりできるようにしておきましょう。

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高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強41 因数分解の利用

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問題
底面の半径がa高さがbの円柱がある。ただしa>bとする。
このとき2つの底面の面積の和と側面積とではどちらが大きいですか。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
2つの底面積の和はπa²×2=2πa²①
側面積は2πa×b=2πab②

①-②=2πa²-2πab=2πa(a-b)
ここでa>bより(a-b)>0
なので2πa(a-b)>0

なので①つまり2つの底面積の和のほうが大きい。
答え 2つの底面積の和のほうが大きい。

どちらが大きいかを調べるには引き算をして値が正になるか、負になるかで判断します。


何日か前に新聞に挟まれてきた塾の広告を見ていたら与えられた課題をこなすだけの学校は時間の無駄。非効率な上に、子供の追求本能を封鎖する。と書いてありました。

僕はこの塾の全体的な方針を知っているわけではないのでこの部分を読んだだけでどうこう言うことはできませんが、受験は入試傾向にそった課題を繰り返しやってマスターする子が強いです。それは、今も昔も変わらない事実だと思います。

こういうときこそコツコツやる子が強いと思います。

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今日は数学の勉強をします。

問題
xについての二次式x²+ax+24が(x+m)(x+n)と因数分解されたとする。
(ただし、a m nは正の整数でm>n)とする。

(1)aの値が最小のときm nの値を求めなさい
(2)aの値が最大のときの m nの値を求めなさい。

説明
問題文の条件より
x²+ax+24=(x+m)(x+n)①とおける。

右辺を展開すると
右辺=x²+(m+n)x+mn②となる。
②と①の左辺の係数を比較して
a=m+n 24=mnがなりたつ。

m、nは正の整数かつm>nなので
mn=24をみたすm nの組は
(24 1)(12 2)(8 3)(6 4)

ここで
(1)a=m+nの値が最小になるのはm=6 n=4のときである。
(2)a=m+nの値が最大に鳴るのはm=24 n=1のときである。

なので(1)答えm=6 n=4
    (2)答えm=24 n=1

素直に数え上げることが大切な問題ですね。
いつか教育関係のサイトを見ていたら最近は就職の適性検査の問題をやっても
数え上げるタイプの問題を苦手とする人が多いと出ていました。
なんとなくわかるような気がしました。
しっかりやりましょう。

コロナと暑さにまけないように頑張りましょう。

こういうときこそコツコツやる子が強いです。

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数ある塾や家庭教師からナカシマを選んでいただきましたら、できる限り丁寧に教えて勉強ができるようになるように努めます。

■2020年4月1日より家庭教師の授業料を60分2000円 90分3000円 120分4000円に改定します。これによりさらに家庭教師が受講しやすくなります。■
























高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強39 式の値

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家庭教師ナカシマは2020年4月1日より授業料を60分2000円 90分3000円 に改定しました。これにより家庭教師がさらにリーズナブルな価格で始めやすくなりました。

授業料、家庭教師が阪急水無瀬駅またはJR島本駅からご家庭までの移動に使う公共の交通機関の交通費 もし市販の問題集を使用する場合はその実費(教材はお手持ちのものを優先的に使用)、それ以外の費用は一切かかりません。料金について詳しくはお問い合わせください。明朗会計に努めます。以上の価格はすべて税込み価格です。

今日は数学の勉強をします。

問題
x²+y²=9 xy=3のとき
(x-y)²の値を求めなさい。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
目標を見定めて式を変形していきます。
x²+y²=9より
(x-y)²+2xy=9
ここにxy=3を代入して
(x-y)²+2×3=9
(x-y)²+6=9
なので
(x-y)²=3である。

答え 3

式の変形は小学校の時の計算練習と同じでなれることが大切です。

南米などでまだコロナの感染者が増えているというニュースも出ていますね。
南半球はこれから冬が本格的になるので風邪がはやりやすい季節かと思います。
地球の規模が交通網の発達で狭くなっているので心配といえば心配ですね。
気をつけていきたいと思います。

コロナと暑さに負けないように頑張りましょう。
こういうときこそ地道に頑張る子が強いと思います。

大阪青凌高校が島本町に移ってから町内で高校生の子の姿を見ることが多くなりました。


※実際の家庭教師の授業では教材はお手持ちのものを優先的に使います。そうでない場合は入試傾向にそった市販の問題集等を使用しますので教材費はもしかかったとしても一冊あたり1000円から2000円くらいです。
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学校教材の復習を中心に、基礎から丁寧にお教えします。

家庭教師ナカシマは個人契約の家庭教師です。

平均点くらいの生徒さんに。不登校の生徒さんの相談もお受けします。

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