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方程式の文章題の解き方41 ランニングコースで出会う問題 東洋大学姫路高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。コースの周りを回って出会う問題です。

問題
1周600mのコースランニングコースがあり、スタート地点に2人の選手A、Bがいる。Aが毎秒5mの速さで走りはじめた。BはAが走りはじめてから1分後にAとは反対方向に毎秒7mの速さで走りはじめた。このとき、次の問に答えなさい。
(1)AとBが最初に出会うのはAが走り始めてから何分何秒後か求めなさい。
(2)AとBが2回目に出会う場所はスタート地点からAが走った方向に何m離れているか求めなさい。東洋大学付属姫路高校

説明
(1)速度が秒速で表されていますから単位を揃えるために1分も60秒と考えます。

Aが走りはじめてからx秒後にA、Bの二人が出会うとする。A、Bの進んだ合計の距離がランニングコース1周分の長さ、つまり600mに達した時二人は出会います。

BはAより1分遅れてスタートするのでAがx秒進んだ時、Bは(x-60)秒進んだことになります。このときAが秒速5m、Bが秒速7mなので
5x+7(x-60)=600が成り立ちます。

これを解くと5x+7x-420=600 12x=1020 x=85秒=1分25秒 なので答え1分25秒後です。

(2)2回目に出会うのはAとBが進んだ距離がコース2周分、つまり1200mに達したときです。

なので(1)と同様に考えて二人が出会うのがAがスタートしてからy秒後とするとBはその60秒後にスタートするので、その時(y-60)秒進んだことになります。(1)と同様に考えて式を立てると
5y+7(y-60)=1200が成り立ちます。
これを解くと12y=1620 y=135 

なのでAはこの時スタートしてから秒速5mで135秒つまり5×135=675m進んだことになります。コース一周で600mですから675mは1周してさらに75m進んだ距離です。なのでスタート地点からAが走った方向に75m離れています。
なので答え75mです。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
今日の感想
A、Bの二人が2回目に出会うのは二人が進んだ距離の合計がコース2周分、つまり1200mになると気づくのは少し想像力いるかもしれません。適度に考えさせる問題で、良問と思いました。

今日、問題を取り上げた東洋大姫路は僕の世代にとっては野球が強い文武両道の学校というイメージがあります。

予備校に勤めている時、長谷川滋利投手ってそんなに大したことないんじゃないの、と僕がある人によく考えもせずに何気なく言ったらその人は機嫌が悪くなってしまいました。

後でその人も長谷川投手も東洋大姫路の出身であることがわかりました。それは機嫌が悪くなるはずだと思いました。もちろん長谷川投手が大したことないと言ったのはのはろくに知識もないのに適当に言った僕の不覚でした。口は災のもとです。気をつけましょう。

問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方40 動く歩道の上を歩いた距離 関西中央高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。
問題
動く歩道があり一定の速さで動いている。この歩道のはじめから終わりまで同じ方向に進むのに分速60mで歩くと18秒かかり分速50mで歩くと20秒かかるという。この動く歩道の長さは何mか求めよ。関西中央高校

説明
動く歩道を歩く人の実際の速さは、動く歩道の速さ+歩く速さ、になります。これが第一に注意すべき点です。

次に分速60mで18秒というように速度が分速、時間が秒で表されているので単位を秒か分に統一しなければなりません。どちらに統一してもいいのですが、ここでは秒に統一します。

1分=60秒ですから分速を秒速にするには60で割ります。なので
分速60m=秒速60/60=秒速1m 同様に分速50m=秒速50/60=秒速5/6mです。

さて、動く歩道の速度を秒速xmとします。すると秒速1mの人の実際の速度は
秒速(1+x)m 秒速50mの人の実際の速さは秒速(5/6+x)mです。

問題文から秒速(1+x)mで18秒進んだ距離と秒速(5/6+x)mで20秒進んだ距離が動く歩道の長さで等しくなります。なので
18(1+x)=20(5/6+x)が成り立ちます。

これを解くと18+18x=100/6+20x 両辺を3倍して54x+54=50+60x
6x=4 x=2/3 なので動く歩道の長さは18(1+2/3)=18+12=30
なので動く歩道の長さは30mです。 答え、30m

単位を統一することと実際の速さは、歩く速度+動く歩道の長さを考えなければならない分少しややこしいかもしれません。落ち着いて考えれば大丈夫です。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
今日の感想
街を歩く人の姿を見ているとマフラーなど首まわりに厚く巻いている人が多くなったと思います。冬至も近づいていると感じます。

問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方39 池の周りで出会う問題 阪南大学高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ます。

問題
兄と弟は、一周3000mの池の周りを同じ場所からランニングすることにした。弟は分速150mで走り、兄は弟と反対周りに分速200mで走った。弟が出発して6分後に兄が出発したとき、二人がであうのは弟が出発して何分後か答えなさい。阪南大学高校

3000mの池の周りを同じ場所から反対に回って出会うので兄、弟二人の進んだ道のりの合計が3000mになったときにふたりは出会います。

弟が出発してx分後に兄、弟の二人が出会うとすると、そのとき兄は弟より6分遅れて出発するので(x-6)分すすんだことになります。つまり弟が分速150mでx分進んだ道のりと兄が分速200mで(x-6)分進んだ道のりの合計が3000mになったとき二人は出会います。

なので150x+200(x-6)=3000が成り立ちます。これを解くと
350x=4200 x=12 なので答え 12分後となります。
 
■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
今日の感想
教科書ワークなどをしっかりやっていれば十分正解できる問題です。ならば正解しましょう。

今日は阪南大学高校の問題でした。この高校は昔、大鉄高校という名前で時々甲子園に出ていました。僕が子供の頃の野球のヒーロー福本豊選手はこの高校の出身です。盗塁の記録で国民栄誉賞を打診された時「そんなもんもらったら立ちションもでけへんようになる」と言ってこれを辞退したとか。

本当にユニフォームを着ないで歩いている姿を見ると大阪のおっさんのような感じの方だと思います。今日はラジオでは温かいと言っていましたが僕は冷える感じで足がす~す~します。入試までの大事な時期なので暖かくしていきたいものだと思います。

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方程式の文章題の解き方38 道のりを行ったり戻ったりする問題 好文女子学園高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

問題
家から学校まで1800mある。家を出発してから、最初は分速60mで歩いていたが、途中で忘れ物をしたことに気づき。分速90mで走って家まで戻った。その後、家から分速100mで走ったところ出発してからちょうど30分後に学校に到着した。このとき、分速60mで歩いた道のりを求めなさい。
〔好文女子学園高校〕
説明
            1800m
家ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー学校
ーーーーーーーーーーー→分速60m
←ーーーーーーーーーーー分速90m
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー→分速100m

今日も罫線で図を書いてみました。問題を読んだ瞬間、行ったり戻ったり、歩いたり走ったり、ややこしいことするな。と思いました。しかし、図に書いて整理したら見かけほどややこしくないことに気づきました。落ち着いて考えることが大切と思います。

分速60mで歩いた道のりをxmとします。その同じ道のりを分速90mで家までもどったのですから家まで戻った道のりもxmです。xmの道のりをそれぞれ分速60m 分速90mですすむときにかかる時間はx/60分 x/90分です。

つぎに家から学校までの1800mを分速100mで進みますからこれにかかる時間は1800/100分です。以上の合計時間が30分になると問題に書いてありますから
x/60+x/90+1800/100=30 が成り立ちます。
これを解くとx/60+x/90+18=30
180倍して整理すると 3x+2x=2160 5x=2160 x=432 なので答え、432mです。

■今日の感想ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
曇りか雨模様の天気でしたが暖かかったですね。朝、ラジオで長男を殺害してしまった元農林水産次官の方の裁判の判決が出たと言っていました。ラジオをきいていると本当にやりきれなくなるほど悲しい事件と思いました。

元文部政務次官の方も人生の終わりにだんだん近づいていく年齢になって、息子の命を断ってしまったという思いを背負って生きるというのは本当につらいことと想像しました。

ラジオでもなぜ専門の機関に相談しなかったのかと言っていましたし、新聞にも大学の精神医学の先生のコメントがあり相談をしたほうがよいと書いてありました。

それも確かにそうだと思いますが、息子さんの成長過程でいろいろと心を追い詰めてしまった可能性も少なくはないと想像しました。なるべく追い詰められることのないように、気分転換を図ったり、考え方の幅を広く持っていくことが大切ではないかと思います。

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方程式の文章題の解き方37 道のりの途中で出会う問題。 大阪商業大学高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。道のりで出会う問題です。

問題
3km離れているA駅とB駅があり、その間に公園がある。兄はA駅から毎分40m、弟は毎分60mでそれぞれ公園に向けて歩いた。二人は同時刻に出発したところ弟は兄より5分遅れて公園に到着した。A駅から公園までの距離は何mか求めなさい。〔大阪商業大学高校〕

説明
 │ーーーーーーーーー3kmーーーーーーーーーーーーーー│
A駅ーーーーーーーーーー公園ーーーーーーーーーーーーーーB駅
兄→毎分40m x分  出会う (x+5)分   毎分60m←弟

今日はちょっと頑張って罫線を利用して簡単な図を書いてみました。兄が出発してx分で公園に着いたとすると弟は同時に出発して5分遅れて公園に着いたのですから(x+5)分で公園に着くことになります。すると兄が毎分40mでx分進んだ道のりと弟が毎分60mで(x+5)分進んだ道のりの合計がA駅とB駅の道のり、つまり
3km=3000mに達した時、兄と弟の二人は出会うことになります。(毎分何mというようにmで速度が問題にしめされているので単位はmに統一します)
なので40x+60(x+5)=3000が成り立ちます。
これを解くと40x+60x+300=3000 100x=2700 x=27となります。つまり兄は毎分40mで27分進むと公園につきます。なのでA駅から公園までの距離は
40×27=1080m なので答え、1080mです。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー■
昨日12月15日から年賀状の配達引受が始まりましたね。1通でも多くの年賀状を元旦に届けるために12月25日までの投函をお願いします。という書き方がしてあるので25日までに出せば絶対確実というわけではないかもしれませんがまあほぼ確実に元旦に届くのではないかと思います。僕もそろそろ年賀状を出そうかと準備しています。

僕はなぜか年賀状は毎年早めに書きます。小学生の頃、書道教室の娘さんが僕と同じクラスでした。その娘さんに年賀状の引受が始まる前に年賀状を出したら年内に届いてしまい、書道教室に行った時、その娘さんのおばあさんに「あんたの年賀状えらい早く届いたよ」とみんなの前で大きな声で言われました。僕はその時恥ずかしかったです。

そのおばあさんに悪気は全くないのはわかるのですが書道教室に行くと「あんたは、うちの孫と同じクラスやねえ」とかみんなの前ででかい声で言ったりするので僕は恥ずかしくなってその書道教室に行くのが嫌になりやめてしまいました。

今から思うとあれはひいきの引き倒しだったなあと思います。ひいきしすぎて逆にひいきした相手が不利になってしまうと言うことです。本当に恥ずかしかったのですからそれは不利になったと言えるでしょう。

まあ、決して悪い思い出と言うわけではないのですがね。僕が育った岐阜県は田舎なのでそういうのどかな思い出がいろいろあります。書道を続けていれば字がうまくなっていたのにと思うことが時々あります。
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方程文章題の解き方36 道のりの途中で速度を変える問題 関西学院高等部

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。道のりの途中で速度を変える問題です。 

問題
5.1kmの道のりを時速3kmで歩きはじめ、途中から時速12.6kmで走ったところ、この道のりをすべて歩いたときにかかる時間よりも64分早く到着することができた。
走った時間は何分間か。〔関西学院高等部〕

説明 
5.1kmと少数がありますし64分と分数で示されている時間もあり、また走った時間は何分がと問われているので計算の都合と単位の統一のために分速とmに単位を統一します。道のりの問題では単位の統一は注意しなければならないことですので覚えておきましょう。

5.1km=5100m 時速3km=時速3000m=分速3000/60m=分速50m
時速12.6km=時速12600m=分速12600/60m=分速210mとなります。

さてすべて道のりを歩いてかかる時間は5100mの道のりを分速50mで歩くので
5100÷50=102分です。かかった時間はこの時間よりも64分速い、つまり少ないので102-64=38分です。

なので走った時間をx分とすると歩いた時間は全体の時間38分からこのx分を引いて(38-x)分です。すると分速50mで(38-x)分歩き、分速210mでx分走ると5100mの道のりになるので
50(38-x)+210x=5100 1900-50x+210x=5100
160x=3200 x=20 なので答え20分です。

昨日やった大阪成蹊女子高校の問題と考え方は全く同じです。しかし、計算が煩雑な分こちらの問題のほうが難しく感じますね。同じ母集団で昨日の問題と今日の問題の正答率と言うデータをとれば間違いなく今日の問題のほうが正答率は低くなるはずです。しかし、もし関学高校を受ける場合には正当しなければならない問題ですね。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー■
今日は大阪 東成区の区民ホールで高槻市民交流センターで歌声クラブの指導をしておられる先生がベートーベンの第九交響曲を指揮して演奏されたので聴きに行ってきました。

演奏の途中で長い休符があるのですが、そこで聴衆の方々が曲が終わったと間違えて拍手をしてしまいました。しかし先生は動じることなく拍手が終わると続きから演奏を進められました。一度途中で止まった演奏を何事もなかったかのようにまた続きから演奏するって意外と難しいことなのです。

ハプニングがあっても落ち着いていられるのは先生がいつも訓練をしておられるからだと思います。

入学試験でも普段しっかり勉強していたら試験中に少々のアクシデントがあってもきっと乗り越えられると思います。頑張って行きましょう。ずいぶん寒くなりましたね。第九交響曲を聴くと年末だなと思います。
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方程式の文章題の解き方35 道のりの途中で速度を変える問題 大阪成蹊女子高校

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。 道のりで途中で速度を変える問題です。

問題
Aさんは10km離れた公園に向かった。はじめは自転車に乗って10kmで走り。途中から時速4kmで歩いたところ2時間後に公園に到着した。自転車に乗っていた時間は何分か求めなさい。〔大阪成蹊女子高校〕

説明
何分か求めなさいと書いてあります。x分とするとまずいです。なぜなら速度が一時間あたりに何km進むかという時速で表されているし、トータルでかかった時間も2時間と時間で表されているからです。

道のりの問題では単位をそろえることを忘れてはいけません。なので自転車に乗っていた時間をx時間とします。するとトータルの時間が2時間なので歩いた時間は2時間から自転車に乗っていたx時間を引いて(2-x)時間になります。

公園までの道のりが10kmですから時速10kmの自転車でx時間進み時速4kmで歩いて(2-x)時間進むと10km離れた公園につきます。なので10x+4(2-x)=10が成り立ちます。これを解くと10x+8-4x=10 6x=2 x=1/3

なので1/3時間つまり20分です。問題は何分かかるかと聞いているので1/3時間を分に直して答えなければなりませんね。答え 20分です。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
朝晩はさすがに寒いと感じます。日中は日がてると結構温かいようにも思いますが体感温度は人それぞれですね。ある方がお腹が痛くなったと言っていました。やはり温めるのがいいのではないでしょうか。体調にも気をつけて行きたいものだと思います。
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方程式の文章題の解き方34 道のりを追いつく問題 大阪薫英女子高校

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問題
弟が分速80mで歩いて、家から1500m離れた駅に向かって出発しました。弟が出発してから12分後に兄が自転車でに乗って分速240mで同じ道を追いかけました。このとき、兄が弟に追いつくのは兄が家を出発してから何分後か求めなさい。〔大阪薫英女学院高校〕

説明
道のりを追いかける問題ですね。単位も分速とmで統一されていますから、教科書ワークなどにしっかり取り組んだ子なら入試で確実に得点できる問題ですね。ならばきっちり得点しましょう。

兄が家を出発してx分後に追いつくとしましょう。兄は弟より12分遅れて出発するので兄が弟に追いつく時、弟は兄より12分多く道のりを進んでいます。なので弟が道のりを進んだ時間は(x+12)分です。

なので兄が分速240mでx分進んだ道のりと弟が分速80mで(x+12)分進んだ道のりが等しくなった時、兄は弟に追いつきます。なので80(x+12)=240xが成り立ちます。

これを解くと80x+960=240x 160x=960 x=6 なので6分後に追いつきます。
分速240mで6分後なので240×6=1440でまだ1500mに達していないので駅の手前で追いつくのでokです。 答え6分後

■この問題は大阪薫英女学院高校の過去問です。近畿の入試問題を集めた英俊社の問題集に載っていました。英俊社は近畿地方の高校の過去問題集を出しているので入試前のこの時期、本屋さんの問題集のコーナーに行くとこの会社の本がいっぱい並んでいます。

僕も近畿の入試問題を見るときにこの会社の本をよく使います。生徒と一緒にこの会社の問題集に取り組むこともあります。何かとこの会社のお世話になっています。といってもこの会社の社員に知り合いがいるわけではありませんが、、、。

大阪薫英と言うとマラソンの前田穂南選手を思い浮かべます。ガッツありそうな感じの方ですね。みなさんも入試をガッツで乗り切りましょう。


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方程式の文章題の解き方33 入場料の問題

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問題
ある博物館の入場料は40人以上の団体になれば35%引きになるという。そこで30人のグループが入場する時、40人の団体として入場したら1280円安くついた。団体扱いにしないとき1人あたりの入場料はいくらですか。

説明
一人あたりの入場料をx円とします。すると35%引きの入場料は0.65xとなります。
30人入場したときの料金は人数×入場料で30xです。一方40人の団体として入場したときの料金は一人0.65x円で40人分の値段ですから40×0.65xとなります。

この値段が30人入場したときの値段、つまり30xより1280円安いと書いてありますから30x-1280=40×0.65xが成り立ちます。
これを解くと30x-1280=26x 4x=1280 x=320 なので答え。320円です。

■昨日ある方からゆずを分けてもらってお風呂に入れてゆず湯にしたら心が落ちつく気がしました。それで、ちょっとネットでいくつかのサイトを調べてみるとゆずに限らず柑橘類の香りは心をリラックスさせる効果があると出ていました。

入試がだんだん近づいてきて気持ちが落ち着かないという人はお風呂にゆずやみかんを入れるとか机の上においておいて時々気分転換に香りを嗅いでみるとかしてみたらどうでしょう。なんかよさそうな気がします。気が向いた人は試してみてください。でも、もう冬至も近くスーパーマーケットにもゆずが出ていますね。


問題はチャート式基礎からの中学一年数学(数研出版)より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方32 道のりの問題

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

問題
さとし君は家から2.7km離れた学校まで、毎日自転車で通学している。ある日学校に行く途中、自転車がパンクしたので、その地点から歩いて学校に行ったら、いつもの時間より12分多くかかった。自転車の速さは毎時9km、歩く速さは毎時3kmである。パンクした地点は家から何km離れたところですか。〔桐朋高校〕

説明
道のりの問題で単位が複数あるときはそれをそろえる必要があります。この問題では速度は時速で時間単位、多くかかった時間は12分で分単位なので、ここでは時間にそろえます。すると12分は12/60=1/5時間です。

さて、さとし君は普段は自転車でパンクすることもなく学校まで行っているわけですからこのときは学校まで2.7km離れた道のりを時速9kmで行くのでかかる時間は
2.7÷9=27/90=3/10時間です。自転車がパンクして途中で歩いて行ったらこの3/10時間より12分つまり1/5時間多くかかったのですからこの時かかった時間は3/10+1/5=5/10=1/2=0.5時間となります。

さてこの時自転車でx時間行ったとすると自転車がパンクしてから歩いた時間は全体の0.5時間からx時間を引けばいいですから(0.5-x)時間となります。すると自転車でx時間行ってそれから歩いて(0.5-x)時間行くと学校までの2.7kmの道のりを進んだことになります。つまり時速9kmでx時間、それから時速3kmで(0.5-x)時間進むと2.7km離れた学校に着くので9x+3(0.5-x)=2.7が成り立ちます。
これを解くと9x+1.5-3x=2.7 6x=1.2 x=0.2 なので時速9kmで進んで0.2時間後にタイヤはパンクするので、それは9×0.2=1.8kmの地点になります。
答え、家から1.8kmの地点。

■スーパーマーケットなどに行くとしめ飾りや、ゆず、みかんなど年末を思わせる商品が多くなりましたね。僕も年内にあと何をしなければならないかということがだんだん気になるようになってきました。年の瀬ですね。


問題はチャート式基礎からの中学一年数学(数研出版)より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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