方程式の文章題の解き方９　損益算

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

割引と利益の問題です。一般に損益算と呼ばれることが多い類型の問題です。

次の問いに答えなさい。

(１)リンゴを一個５０円で何個か仕入れ、これを１個７０円で売ったが１２個売れ残った。しかし、全体としては仕入れ値の28.8％の利益になったという。仕入れたリンゴの個数を求めなさい。

(２)定価の２割引で売っても、まだ仕入れ値の１割の利益が出るように定価を決めたい。定価は仕入れ値の何％増につければよいですか。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じて市販の教材を使用しますので教材費は一冊あたりおおむね１０００円から２０００円程度になります。なので教材費が高額になることはありません。

(１)リンゴをxこ仕入れたとしましょう。それを７０円で売ると１２個売れ残ったと言っているのですから売れた数は(x-12)個です。その結果全体として22.8%の利益になったと言います。

まずリンゴをまったく利益を見込まずそのまま仕入れ値でx個売ったときの売り上げの総額は５０円をｘ個売ったので50x個です。なので28.8%の利益が生まれる売上額は50x×1.288=64.4xです。

７０円で売って１２個売れ残ったときの売り上げが全体として仕入れ値の28.8％の利益を生むので

70(x-12)=64.4x　が成り立ちます。

これを解くと　70x-840=64.4x　700x-8400=644x　56x=8400　x=150

なので答え１５０個です。

利益だけに着目して解いてもいいですが僕は売り上げ総額に着目して解きました。人によって好きな解き方があると思います。

(２)定価の２割引で売るので定価ｘとすると２割引の値段は0.8xです。この値段で(１)で求めた１５０個全部売ると売り上げ総額は0.8x×150=120x　となります。

このとき仕入れ値の一割の利益があるといいます。仕入れ値の一割の利益を得たときの売り上げ総額は５０円を１５０個売って一割儲かるのですから
５０×１５０×1.1=8250円です。　なので120x=8250　が成り立ちます。

これを解いて　x=825/12となります。　これが仕入れ値５０円の何倍かを求めれば定価が仕入れ値の何％増しかわかります。a倍とすると

50a=825/12　が成り立ちます。これを解くとa=825/12×1/50

a=825/12×50　a=825/600　a=1.375　仕入れね５０円を1.375倍すると売値になるので答え37.5%です。

頑張りましょう。

日が照ると暖かいですが朝晩はさすがに寒いですね。阪急の駅にもみじだよりのポスターが張ってあります。ほとんどの場所に色づき始めのワッペンとなりました。

一度見頃にワッペンを張ってまた色づき始めにワッペンを戻した箇所が何ヵ所かありました。ちょっと見て見頃と判断したけれどよく見ると全体としてはまだ色づき始めという判断になったのだと思います。自然の観察は個体差を見た上で総合的に判断しなければならないのでこういうことは起こりうると思います。駅員の人が観察してポスターを作る係りのひとに「まだ色づきはじめやで」と電話をしているのでしょうか。あれこれ想像してしまいます。

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2019.11.09 問題の解き方　数学中学生の勉強

方程式の文章題の解き方８　二つの濃度の食塩水を混ぜる問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。

食塩水の濃度の問題

問題

５％の食塩水と１０％の食塩水を混ぜて７％の食塩水を４００g作りたい。それぞれ何g混ぜるとよいですか。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使うので費用は一冊あたりおおむね１０００円から２０００円です。

5%の食塩水と10%の食塩水を会わせて400g作るので5%の食塩水をxグラムとすると10%の食塩水は(400-x)グラムです。一方、食塩水の中の食塩の重さ(質量)に着目すると5%の食塩水xグラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.05xグラム、また10%の食塩水(400-x)グラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.1(400-x)グラムとなります。

その結果出来上がる7%の食塩水400gに含まれる食塩の重さ(質量)は400×0.07=28グラムです。これは5%の食塩水に含まれる食塩と10%の食塩水に含まれる食塩を足すとその合計の重さ(質量)は２８グラムになることを意味します。

なので等式　0.05x+0.1(400-x)=28が成り立ちます。

両辺を１００倍して5x+10(400-x)=2800　5x+4000-10x=2800

5x=1200　x=240　なので5%の食塩水240g　10%の食塩水は400-240=160g

となります。　答え5%を240g　10%を160gです。

このように二つの濃度の食塩水を混ぜる問題は食塩水全体の重さ(質量)とそこに含まれる食塩の重さ(質量)の両方に着目して式をたてることがコツです。
頑張りましょう。

今日は立冬。暦の上では今日から冬ですね。昨日スターバックスに入ったらクリスマスソング　「サンタが町にやって来る」が流れていました。サンタクロースなんていないと思っているよりもサンタクロースはいると思っていた方が幸せだと思います。

まだ、そんなにクリスマスソングのメドレーというわけではありませんが、もう半月もすれば１００Yenショップなどでもクリスマスソングがいっぱい流れる時期になると思います。

何年か前、家庭教師で使う徒歩ナビゲーションが故障してしまってオートバックスで代替品を購入したことがありました。時間がなくて駅からタクシーに乗り運転手の方に「スターバックスまでお願いします」と言ったら、運転手の人が「ええ？」となってしまって、あわてて「間違えました。オートバックスです」と言ったら「そうでしょう。おかしいと思いました」と運転手の人に言われたことがあります。

とても急いでいて気持ちがあせっていたのでスターバックスとオートバックスを間違えたと思います。試験でもあせりすぎると思わぬ間違いをすることがあります。落ち着いていきましょう。

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2019.11.08 問題の解き方　数学中学生の勉強

方程式の文章題解き方７　食塩水の濃度の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ていきます。

食塩水の濃度の問題

問題
５％の食塩水100gにに８％の食塩水を何gか加えて、６％の食塩水を作りたい。
(１)８％の食塩水をxグラム加えるとき６％の食塩水は何グラムできますか。
(２)食塩水中の食塩の重さの関係を方程式に表しxの値を求めなさい。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則としてご家庭でお手持ちの教材を使います。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使いますので教材費は一冊あたりおおむね１０００円から２０００円です。

(１)の食塩水の重さは100gにxグラムを加えるのですから単純に(１００+x)gです。

(２)食塩の濃度の問題を解くには食塩の濃度の定義を知っていなければなりません。５パーセントの食塩水１００あたりには５の食塩が含まれます。なぜなら％つまり百分率というのはその文字の通り全体を１００としたときにそのいくらになるかという割合を表したものだからです。

さて問題文の指示にしたがってできた６％の食塩水全体の重さ(質量)は(１)で見たように(１００+x)グラムです。ではこの６％の食塩水に含まれる食塩の重さ(質量)はいくらでしょう。

まず5％の食塩１００グラムには100×5/100=5グラムの食塩が含まれます。また8％の食塩水xグラムには8x/100=8/100xグラムの食塩が含まれます。8/100xは計算しやすいように小数0.08xと表します。(8/100x=0.08xなので)。

ですから５％と８％の食塩水を問題の指示通りに混ぜて得られる６％の食塩水に含まれる食塩の質量は(５+0.08x)グラムです。一方こうしてできる食塩水全体の量は(１)で見たように(１００+x)グラムです。

食塩の濃度は　(含まれる食塩の質量/食塩水の質量)×１００なのでこの式に則して方程式をたてます。すると<(5+0.08x)/(100+x)>×100=6となります。両辺を１００で割って(５+0.08x)/(100+x)=6/100となります。なので(100+x)×0.06=５+0.08x

両辺を百倍して6(100+x)=500+8x、600+6x=500+8x、2x=100、x=50です。
答え　x=５０

濃度の問題は数学の学習と理科の学習が両方わかっていないと解けませんね。
頑張りましょう。

2019.11.06 問題の解き方　数学中学生の勉強

方程式の文章題の解き方６　時計の長針が短針に追いつく問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。

時計の長針が短針に追い付く問題。

問題
３時と４時の間で、時計の長針と短針が重なる時刻を求めなさい。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用
実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。それ以外の場合も個々の学力と目標に応じた市販の教材を使用しますので費用は一冊あたりおおむね１０００円から２０００円程度です。教材に費用が発生するときは必ず保護者の同意を得ます。

図のように３時の時点で短針は長針より９０度先に進んでいることになります。この９０度の距離が０になるまで長針が短針を追いかけて追いつく時刻はいつかという風に考えます。するとこの問題は道での追いつきの問題と同じ考え方で解けることがわかります。

時計の長針は６０分で一周つまり３６０度回転しますから１分では360/６０=５度回転します。時計の短針は１時間に一周の十二分の一つまり

360/12=30度回転します。なので１分ではその６０分の１つまり30/60=0.5度回転します。なので最初９０度先のところにあって分速0.5度で進む短針を長針が分速６度で追いかけることになります。

x分後に追いつくとします。このとき長針は時計の１２のところを起点として１分で６度進むので
6x度進んだ位置にあります。一方、短針は時計の３のところを起点として１分で0.5度進むので
0.5x度進んだ位置にあります。等式を成り立たせるためには短針の起点も長針と同じ１２のところにそろえなければなりません。

そうすると短針は３時にすでに１２よりも９０度進んだところにあるわけですから0.5x度に90度を足して短針は１２を起点として90+0.5X度のところにあります。

長針と短針の１２を起点とした角度が等しくなったときに長針と短針は重なるので
6x=90+0.5xが成り立ちます。

これを解くと5.5x=90、　x=90/5.5、　x=900/55=180/11=16と4/11
なので答え３時16と4/11分となります。

頑張りましょう。

今日、阪急の駅の紅葉カレンダーを見たら沿線のいくつかの場所に色づき始めのワッペンが貼ってありました。水無瀬の駅前の桜も半分くらい葉が紅になりました。

だんだん冬ですね。

2019.11.05 問題の解き方　数学

方程式の文章題の解き方５　追いつきの問題

今日も方程式の文章題の解き方を考えます。

追いつきの問題

問題

A駅から電車とバスが並行して走っている。時速24kmのバスが出発してから３分後に時速60kmの電車が同じ方向に出発した。電車は出発後何分で駅からの距離がバスと同じになりますか。また、それはA駅から何kmのところですか。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用(実際の家庭教師の授業では原則お手持ちの教材を使います。もしそれ以外を使う場合も保護者の同意を得た上で市販の教材を使用するので価格は一冊おおむね１０００円から２０００円程度です)

この問題はちょっと難しいです。なぜなら速度が時速つまり一時間あたりどれだけの距離を進むかという単位で表されているのに、問いの内容は出発後何分で追いつきますかと分の単位で聞いているからです。単位が異なるときは必ず単位をそろえなければなりません。ここが大切なポイントです。

時間に単位をそろえてみましょう。一時間は６０分、なので１分を時間に直すと逆に１割る60=1/60時間なので３分は(1/60)×３=3/60=1/20時間です。

なので問題の文章を分から時間に置き換えて考えると時速24kmのバスが出発してから３分後とはつまり時速24kmのバスが出発してから3/60=1/20時間後です。なので問題文よりバスが出発してから1/20時間後に電車は出発します。

電車の駅からの距離がバスのそれと同じになるときバスは電車より３分つまり1/20時間余計に走行しています。(電車はバスの1/20時間後に出発するから)。時速60kmの電車が出発してx時間後に時速24kmのバスと距離が同じになるとするとその時バスはx時間より1/20時間余計に走行していますから24(x+1/20)=60x　が成り立ちます。

これを計算すると24x+24/20=60x　両辺を２０倍して480x+24=1200x、
720x=24、　x=24/720=1/30、　x=1/30時間となります。問題は何分後ですかときいているのでもう一度、時間を分に直さなければなりません1/30時間=60×(1/30)=2分です。
答え　２分

さらに問題はその時のA駅からの距離はどれだけかときいているので時速60kmで1/30時間進む距離つまり60×(1/30)=2km　なので　答え2kmです。
まとめると　答え　２分後A駅から2kmのところとなります。

単位をしっかりそろえることが大切です。

頑張りましょう。

今日はだいぶん寒くなりました。阪急の駅に紅葉マップのポスターがはりつけてありましたがまだ色づきマークのワッペンがはってあるところはありませんでした。これから紅葉シーズンにそなえて駅でも準備が進んでいるようです。だんだん冬になっていくなと実感しました。

2019.11.04 問題の解き方　数学

方程式の文章題の解き方４

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

問題

２１０人の生徒に好きなスポーツを１つだけ書かせたところ、野球と書いた生徒の数はテニスと書いた生徒の数の２倍より１４人少なく、野球とテニス以外のスポーツを書いた生徒の数は、３８人であった。野球と書いた生徒の数を求めなさい。
※問題は文英堂　くわしい問題集数学中学一年より引用文英堂　くわしい問題集数学中学一年

野球とテニス以外の人が３８人いるのでこれを生徒の全体数２１０から引いてしまいましょう。210-38=172です。野球とテニス以外の人の数を引いたので残った172人は野球かテニスのいずれかです。つまり野球が好きと書いた生徒とテニスが好きと書いた生徒の合計は１７２人となります。

そこで野球を好きと書いた生徒の人数をxとするとテニスが好きと書いた生徒の人数は合計の１７２人から野球が好きと書いた生徒の数を引けばいいので
(172-x)人です。野球と書いた生徒の人数はテニスと書いた生徒の数の２倍より１４人少ないのでそのまま式にして

x=2(172-x)-14です。これを解くとx=344-2x-14　3x=330　x=110です。
なので野球と書いた生徒の数は110人　答え１１０人です。

頑張りましょう。

今日は京都コンサートホールでフィラデルフィア管弦楽団と言うアメリカのオーケストラを聴きました。

ラフマニノフのピアノ協奏曲第２番とドボルザークの交響曲第９番「新世界より」をオーケストラは演奏しました。アメリカのオーケストラなのでアジア系のプレーヤー、ヨーロッパ系のプレーヤー、アフリカ系のプレーヤーなどいろんな人種のプレーヤーがいます。アフリカ系のクラリネット奏者がラフマニノフの美しい旋律を思い入れたっぷりに演奏するのを聴いて音楽は人類共通の言語だなと思いました。

ピアノ協奏曲が終わったあとピアニストはブラームスのピアノソロの曲をアンコールで演奏しました。ピアノソロのアンコールをするときには指揮者は普通、舞台の袖に引っ込んでいるのですが、今日の指揮者はピアニストがアンコールを演奏するのをピアノのそばの指揮台に腰かけて聴いていました。聴衆とオーケストラのプレーヤーと指揮者がみんな一緒にピアノソロを聴くと言う演出でとても心暖まる気持ちになりました。指揮者が人間味にあふれる人でよかったです。

ドボルザークの新世界よりという曲はなぜ新世界ではなく新世界よりとよりがつくのだろうと子供の頃思っていました。

大人になって英語のタイトルを見ると

from　the　new　worldとなっています。new　worldとはアメリカのことで故郷のチェコからアメリカに行ったドボルザークがアメリカより故郷へという意味で新世界よりという曲のタイトルになりました。

語学や歴史がわかるようになるとだんだん認識が広がるものだなと思います。

2019.11.03 問題の解き方　数学

方程式の文章題の解き方３

今日も方程式を使って文章題を解く方法を考えます。

問題

現在の父の年齢はA君のちょうど５倍であるが、１８年後にはちょうど２倍になるという。A君は現在何歳ですか。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中１より引用。

現在の父の年齢がA君の５倍なのでA君の現在の年齢をxと置くと父の現在の年齢はその５倍の5xです。１８年後の年齢は現在の年齢に１８をたすと出ますから父の１８年後の年齢は5x+18でA君の１８年後の年齢はx+18です。１８年後の父の年齢がA君の年齢の２倍なので５x+18=2(x+18)です。これを解くと5x+18=2x+36　3x=18　x=6です。なので、答え６才です。

ちょっと確かめ算をしてみましょう。現在A君が６才なので父はその５倍の30才です。１８年後はA君は６+18で24才　父は30+18で48才
確かに４８才は２４才の２倍なので問題文に書いてある通り１８年後の父の年齢はA君の２倍ですね。このようにテストで時間が余ったときは実際に出た答えで確かめ算をすると計算違いによるケアレスミスの発見になりますよ。

十月の最後はハロウィンということで道頓堀川に橋から飛び込んだ人がいたそうです。盛り上がってやってしまったと思いますが真似して怪我しないように気をつけましょう。僕の近所のスーパーマーケットはハロウィンが終わったらもうクリスマスの飾りつけが始まっています。早いですね。

頑張りましょう。

2019.11.02 問題の解き方　数学

頭にはちまきで勉強

新聞を見ていたら頭に脳の血流量を計るセンサーのついたはちまきを巻いて授業を受ける高校生の写真が載っていた。このセンサーで脳の血流量を計る。教室の後ろに置かれたパソコンの画面は生徒ごとに血流量が増えれば赤くなり減れば青く色が変わるという。

月に数回データを集め生徒の学習に向き合う姿勢や教諭とのコミュニケーションなどとの関連を４年半かけてこの高校と東大とで検証するという。実験を行う東大教授の先生は「教諭が生徒の集中度を把握しながら、効率的な指導ができるようになれば」と話しているという。

今はなにかと先端技術の時代なのでこういう試みが行われるのだろうと思う。「私、ぜんぜん血流が上がってへんわ。どうも集中力に難があるみたいやわ」という感じで半ばゲーム感覚でこういうデータを楽しむ分にはぜんぜんＯＫだと僕は思う。

しかし、学校の先生が脳の血流量と学習効果の相関といったようなデータをもとに「君はこのデータを見ると、どうも集中できていないようだ」と真面目くさって生徒に話すようであれば、それはちょっと怖いようにも思う。生徒の普段の態度とか伸びる可能性とかを考慮しないでテストの点数だけ見てものをいう先生がそれなりに怖いのと同様に、、、。

生徒のやる気とか学習に向き合う姿勢って先生の側からすれば生徒の目の輝きとか声のトーンとか背筋の伸び具合とかそういうのを見て直感的に判断するのがもっとも大切でこういうデータは補足的に用いるのが望ましいように思う。このようなデータがもし先生の評価に使われるようになったとしたらそれもそれなりに怖いようにも思う。頭にセンサーつきのはちまきを巻いて血流をはかりながら授業を受けるということも生徒にとってはそれなりのストレスであるようにも思う。自分の身体のデータをそんなふうにとられるっていろんな意味で不安もあるし、、、。

先端技術が進むことはいいことだと思うけれど、そういう進歩が私たちの人間らしさを奪ってしまわないようにと願う。

2019.11.01 日記

方程式の文章題の解き方２

10月２６日に続いて今日も方程式の文章題の解き方を記事にします。手元にある問題集から今日も時間と道のりの問題です。

２つの地点A　ＢがありA地点からB地点までの道のりは７００mである。太郎さんはA地点からＢ地点へ、花子さんはB地点からA地点へ向かって同時に歩き出して途中で２人は出会った。太郎さんの歩く速さを毎分８０m、花子さんの歩く速度を毎分６０mとするとき、太郎さんと花子さんは歩き出してから出会うまでに歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。

問題の文章の言葉をそれを解くために置き換えます。A、B両地点は７００m離れていてそれぞれ反対方向から歩いてきた太郎さんと花子さんが出会うので、太郎さんと花子さん二人の合計で７００m歩いた地点で二人は出会うわけです。なので太郎さんが歩いた距離をxメートルとすると花子さんが歩いた距離は(700-x)メートルです。時間は道のりを速度で割ると出ます。

なので太郎さんが花子さんと出会うまでにかかって時間はx/８０です。(太郎さんの速度は分速80m)　花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間は

(700-x)/６０です。(花子さんの速度は分速60m)　太郎さんが花子さんと出会うまでにかかった時間と花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間はもちろん等しいのでx/80=(700-x)/60がなりたちます。両辺を80と60の最小公倍数２４０倍すると3x=4(700-x)　3x=2800-4x　7x=2800　x=400です。
なので700-x=700-400=300　なので答、太郎さん400m　花子さん300mです。

太郎さんと花子さんが出会うまでにかかった時間をxとしても解けます。道のりは速度×時間なので太郎さんが花子さんと出会うまでに歩いた道のりは80xメートル、花子さんが太郎さんと出会うまでに歩いた道のりは60xメートルです。

二人が歩いた距離の合計が700mになったときに二人は出会います。(A、B両地点の道のりは700mだから)なので80x+60x=700　140x=700　x=５　なので二人は５分後に出会います。５分で太郎さんが進む道のりは80×5=400m　花子さんが進む道のりは
60×5=300m　　なので答え、太郎さん400m　花子さん300mです。

このように進んだ道のりをxとして式をたててもかかった時間をxとして式をたてても同じ結果になります。

頑張りましょう。

2019.10.31 問題の解き方　数学中学生の勉強

天然ボケ

朝、浜村淳さんのラジオを聴いた。東京ラブストーリーという３０年近く前のテレビドラマの話題になった。「あのときの鈴木保奈美さんは本当にショートヘアでカッコよかったです」と浜村淳さんが言った。「あのとき保奈美さんは髪長かったですよ」アシスタントの鳥居睦子さんが言った。「そうですよ。あのときは髪長かったです」と若手のアシスタントの女性も言った。

浜村さんしばらくポカーンという感じになってしまって言葉が出てこなかった。ラジオの音声が空白になってしまった。そして、浜村さんは気をとりなおしたように「なんであんた若いのに鈴木保奈美さんが髪長かったって知ってるの？」と若手の女性アシスタントに言った。「再放送見ましたもん」とそのアシスタントは答えた。「そうか再放送見たんですね」と浜村さんは言った。

僕も東京ラブストーリーは見てなくて、それでも９０年代の鈴木保奈美さんはショートカットのカッコいい女性というイメージを持っていたので浜村さんにだまされるところだった。

それにしても浜村さん天然のボケで本当にいい味だなと思う。自然体でいるから天然のボケも出るしミスしたら若い子にすぐフォローしてもらえるのかなと思う。きっとそれが浜村さんが８０才過ぎても毎朝、生放送を続けられる秘訣なのだろう。僕もあやかりたいと思うのだけれど、、、。

保奈美さんって浜村さんから見れば娘くらいの年齢だけれどそういう人のこと素直にカッコいいと言えるところもなんか尊敬してしまう。

新聞を見ると東北本線が全線１７日ぶりに開通と出ている。台風１９号の影響で線路の敷石が流れてしまい運転できない区間があったという。本当に鉄道って何かあっても必死になって復旧してしまうところがすごいと思う。

新聞には福島県の須賀川駅のホームに電車が到着した瞬間の写真が出ている。普段、大阪府にすんでいるとなんか片田舎の駅のよう見える。ちょっとJR島本の駅に似ているような気もするけれど、、、。

ホームから電車に乗ろうとしている人の姿を見ると今、島本町や高槻の町を歩いている人よりも厚手のコートやブルゾンを着ている。東北だから寒いんだと思って須賀川の昨日の気象情報を見ると最高気温は１４度、最低気温は９度となっている。島本や高槻で言えば十一月下旬から十二月上旬くらいの感じだろうか。

しかし、高槻あたりなら十二月の初旬頃はもっと多くの人がマフラーをしていると思うけれど福島県須賀川の写真を見るとマフラーをしている人はいない。やはりもっと厳しい寒さが待っているからこの程度の寒さではまだマフラーをしないのだと想像する。身体が寒冷な気候に慣れるということなのだろう。また、福島や千葉にも平穏な生活が戻るようにと願う。

阪急水無瀬の駅前の桜の葉がすこしだけ紅に色づいてきている。大阪でもだんだんこれから紅葉の季節になっていくのだろうと思う。