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方程式の文章題の解き方26 過不足の問題

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今日も方程式の文章題の解き方を見ます。 過不足の問題です。
問題
ノートをあるクラスの生徒に配るのに一人3冊ずつ配ると22冊あまり4冊づつ配ると6冊足りない。このときノートの冊数を求めなさい。

生徒をx人とします。一人に3冊配るとそれに必要なノートの冊数は3x冊となります。このときノートはまだ22冊余っているのですから求めるノートの冊数は
(3x+22)冊①と表せます。

また一人4冊ずつ配るのに必要なノートの冊数4x冊です。しかし求める冊数はこの4x冊よりには6冊たりないことが問題文からわかります。なので求めるノートの冊数は4x冊から6冊引いた値、つまり(4x-6)冊②です。

①と②はともに求める冊数で同じ値になるので3x+22=4x-6が成り立ちます。
これを解いてx=28 なので生徒は28人です。なので求めるノートの冊数は
3×28+22=106冊です。4×28-6=106冊と出しても同じことです。
答え 106冊です。


近所のお宮にお参りに行ったら境内のもみじの木は緑から黄色、紅色にいたるグラデーションになっていました。まさに今が見頃でした。タイミングよくてラッキーでした。受験生の皆さんは紅葉を見に行く時間はないかもしれませんね。僕のように近所のお宮や公園で見たらいいと思います。

問題はチャート式基礎からの中学一年数学(数研出版)より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方25 個数と代金の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ていきます。個数と代金の問題です。

問題
鉛筆8本と150円のボールペン1本の代金の合計は、同じ鉛筆2本と60円の消しゴム1個の代金の合計の3倍であるとき、この鉛筆1本の値段を求めなさい。また、もとの代金の合計を求めなさい。

鉛筆1本x円として式を立てます。鉛筆8本と150円のボールペン1本で8x+150
同じ鉛筆2本と60円の消しゴム1個で2x+60となります。すると問題文から8x+150の値が2x+60の3倍であることがわかりますから
8x+150=3(2x+60)が成り立ちます。

これを解くと
8x+150=6x+180 2x=30 x=15で鉛筆1本15円となります。なのでもとの代金の合計は8×15+150=270円となります。
答え 鉛筆1本15円 代金の合計270円です。

今日は冬らしくけっこう寒い日になりましたね。阪急の駅でもみじだよりを見たら
掲載してある16ケ所のうち4ケ所で見頃すぎとなっていました。紅葉シーズンも終盤に差し掛かったということでしょうか。

高槻や島本町の桜の葉は半分以上散ってしまっています。だんだん本格的に冬ですね。昼間ちょっと気温が上がったような気がしたのである方に「暑いですね」とあいさつしたら「そうですか」と素っ気ない返事。それで今日の最高気温を見ると12度となっています。いや、僕が動いていたから暑いと感じただけなんだなと思いました。

問題はチャート式基礎からの中学一年数学(数研出版)より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方24 整数の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。 整数の値を決める問題です。

問題
3けたの自然数がある。この自然数の十の位の数は5で、各位の数の和は百の位の数の7倍である。また百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる3けたの自然数はもとの自然数より495大きいという。もとの自然数を求めなさい。

百の位の数をx 一の位の数をyとすると各位の数の和が百の位の数の7倍なので
x+5+y=7x①がなり成り立ちます。また、百の位の数と一の位の数を入れ替えた数はもとの数より495大きいので、100x+50+y+495=100y+50+x②が成り立ちます。
①②を連立して解くとx=2 y=7となります。なので答え 257です。
257+495=752なので問題文に書いてあるとおりですね。

※苦手な生徒さんには連立方程式の解き方から詳しく説明します。

街を歩くとショーウインドウにカラフルなコートが飾ってありますね。冬のシーズンだなと思います。見るだけで買わないのでまさにウインドウショッピングです。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方23 今年の値段 

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。 

問題
ある製品を作るのに昨年は900円でした。今年は材料費が8%、加工代が5%上がったので合わせて60円値上がりした。今年の材料費と加工代をそれぞれ求めなさい。

昨年の材料費をx円、加工台をy円とする。昨年は材料費と加工代の合計は900円なのでx+y=900① 

材料費は今年8%上がるので1.08x円、加工費は5%値上がりするので1.05y円となります。そしてその結果60円値段が上がると書いてあるので値段は960円になります。なので1.08x+1.05y=960②が成り立ちます。

①②を連立して解くとx=500 y=400 なので材料費500円 加工代400円とすると間違いです。これは昨年の値段です。今年は材料費は8%値上がりするので500×1.08=540円 加工費は5%値上がりするので400×1.05=420円となります。

答え 材料費540円 加工費420円です。合計960円となるので問題文の通り60円値上がりしていますね。

阪急の駅のもみじだよりを見ると一ヶ所が見頃すぎで他のところはすべて見頃となっています。紅葉のシーズンですね。桜の紅葉はもみじよりタイミングが早いようでもう高槻や島本町では道に枯れ葉が落ちています。ボランティアのおばちゃんがそれを掃除しています。枯れ葉のシーズンですね。


※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方22 比の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。比の問題です。
問題
ある学校の入学志願者の男女の比は5:3であった。このうち合格者の男女の比は
7:4で合格者が200人であった。このとき男女別の入学志願者数を求めなさい。

男の志願者数をx人女の志願者数をy人とすると問題文より
x:y=5:3 なので5y=3x① 合格者の男女比が3:2でその合計が200人と問題には書いてあるので男120人女80人とわかります。なので不合格者の数は
男(x-120)人、女(y-80)人となります。この比が7:4と書いてあるので
(x-120):(y-80)=7:4 なので7y-560=4x-480② ①②を連立して解いて
x=400 y=240 なので答え 男400人 女240人です。

不合格者をx-120 y-80 としたのは引き算の発想ですが逆に足し算の発想をした解き方をしてみます。

男の志願者x人、女の志願者y人とすると 合格者は男120人 女80人、ここまでは前の解き方と同じです。ここで不合格者の男女比は7:4ですから、男の不合格者を
7k人、女の不合格者を4k人とします。すると男女それぞれの志願者数は合格者と不合格者の合計ですから男120+7k 女80+4kとおけます。

つまりx=120+7k y=80+4kとなります。男の志願者数と女の志願者数の比が5:3ですから(120+7k):(80+4k)=5:3です。
なので400+20k=360+21k k=40 なので男120+7×40=400人
女80+4×40=240人です。結果は最初の解き方と同じです。この解き方も知っていると困ったときに助かる場合がありますよ。

100円ショップにいってもお正月やクリスマスのグッズが多くなりましたね。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の問題21 平均の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。 平均の問題です。

100点満点の計算テストが10回あった。10回のテストの平均点は93点であった。T君の成績は90点と95点ばかりであった95点はそれぞれ何回あったか求めなさい。

平均の問題は総合点に着目すると解決することが多いですね。数学は考え方が大切と言っても、その考え方を知っているかどうかで決まってしまう場合が少なからずあります。やはり知識が大切ですね。考え方のパターンを知っているということが大切です。

さて、いきなり横道にそれました。10回のテストの平均点が93点と書いてあるので10回の点数の合計は93×10=930点ですね。なので90点をとった回数をx回とすると全体で10回テストをしたので95点をとった回数は(10-x)回です。
すると90点x回95点(10-x)回の合計が930点になることに着目して
90x+95(10-x)=930
これを解くと90x+950-95x=930 5x=20 x=4 なので10-x=6
よって答え 90点4回 95点6回となります。
※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方20 列車のすれ違いの問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。 列車のすれ違いの問題です。

ある列車が580mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに40秒かかり、1380mのトンネルに入り始めてから出終わるまでに1分20秒かかった。この列車が対向して走ってくる秒速30m、長さ180mの急行列車に出会ってから完全に離れるまでには何秒かかりますか。

電車のスピードを秒速xm 長さをymとします。580mの鉄橋を渡り終わるのに電車は鉄橋の長さ+電車の長さ分進みますから(580+y)m進みます。これが問題文から秒速xmで40秒進んだ距離ですから40xmです。

なので580+y=40x①が成り立ちます。1380mのトンネルを渡り終わるのに電車はこの長さ+電車の長さym進みますから(1380+y)m進みます。
これが秒速xmで1分20秒つまり80秒進んだ距離なので80xmです。

なので1380+y=80x②が成り立ちます。①②を解くとx=20 y=220となります。
なので電車の長さは220m 速さは秒速20mです。

秒速30mの電車と秒速20mの電車が対向して走るとき2つの列車は互いに
30+20=50 つまり秒速50mで近づき離れます。これは例えば自動車に乗っていて対向車線の車は自分の車の速度に加えて対向車線の車の速度で近づき離れることを考えればわかりますね。時速30kmの車から見れば時速20kmで対向して走ってくる車は時速30+20=50kmで近づいてくるように見えますね。その考え方を利用します。

一方120mの電車と220mの電車がすれ違うときはお互いの列車が180+220=400mすすみます。なので秒速50mで400mすすむ時間と考えて400÷50=8秒ですれ違い完全に離れます。
答え8秒です。

実際の家庭教師の授業でこのタイプの問題をするときはなぜ列車がすれ違うとき2つの列車の長さを足すのかなどは筆箱や机などを使って実際に列車が進む様子をイメージしてくわしく説明します。図で説明することもあります。

阪急の駅のもみじだよりを見たらもみじだよりに掲載されている16ヶ所全てで見頃となっていました。今日は紅葉を楽しんだ人も多かったでしょうね。嵐山、清水寺も見頃と出ていました。紅葉のシーズンですね。


※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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数学の文章題の解き方19 整数の問題

今日も方程式の文章題を見ることにします。整数の問題です。
問題
2ケタの整数がある。十の位の数の2倍は一の位の数より1大きく、十の位の数と一の位の数を取り替えて数字の順序を逆にすると、もとの数より18大きくなるという。もとの整数を求めなさい。

もとの整数の十の位の数をx一の位の数をyとします。十の位の数の二倍は一の位の数より1大きいのでそのまんま式にして2x=y+1①となります。
さてここでもとの数は10x+y 一の位と十の位を入れ替えると10y+xです。

これはなぜかというと、例えば十の位が2 一の位が5の数は
2×10+5=25と表され、十の位と一の位の数を入れ替えた52は
5×10+2=52と表されるからです。具体的な数で考えてみると抽象的な文字式の意味がわかりますね。

数学を学ぶと抽象的でわかりにくいことは具体的に置き換えてみようという考え方が身につきます。これは数学に関係ない場面でも人にわかりやすくものを説明したり表現したりするのに大切な力です。そんなところにも数学を学ぶ大きな意味があると思います。

話が横道にそれましたね。なのでもう一度
もとの数は10x+y 一の位と十の位を入れ替えると10y+xです。入れ替えた数はもとの数より18大きいと書いてありますから10x+y+18=10y+x②が成り立ちます。
①よりy=2x-1 ②に代入して10x+2x-1+18=10(2x-1)+x
12x+17=20x-10+x 9x=27 x=3 ①に代入してy=5 なので
求める整数は 答え35です。十の位と一の位を入れ替えると53=35+18で問題に書いてあるとおりもとの数より18大きいですね。

ずいぶん寒くなりました。マフラーをしている人の割合がぐっと増えたと思います。だんだん本格的に冬になりますね。

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方程式の文章題の解き方18 合金の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。
問題
銀45%を含む合金Aと銀75%を含む合金Bをまぜて銀65%を含む合金と作る予定であったがまちがえて合金Bを3g少なく混ぜたため、銀55%を含む合金ができてしまった。はじめ合金A合金Bをそれぞて何gまぜる予定であったか求めなさい。

例えば合金を100g作る予定だったと具体的に書かれていれば合金Aをxgとすれば合金Bは(100-x)gですが、合金の合計が何gか書かれていないので
合金Aをxg、合金Bをygとします。つまり連立方程式となるわけですね。

合金Aをxgとするとそのうちの45%が銀なので銀の質量は0.45xgです。合金Bをygとすると合金Bに含まれる銀はそのうち75%なので0.75ygです。この結果合金が
(x+y)gでき問題文からそれは65%の合金なのでそこに含まれる銀の質量は0
0.65(x+y)gです。なので合金Aと合金Bの中の銀の質量に注目して式を立てると
0.45x+0.75y=0.65(x+y)①が成り立ちます。合金AとBを混ぜる前とあとでは銀の質量の合計は変わらないからです。

次に間違えて合金Bを3g少なく混ぜたというのですから合金Aはxgのまま変わらず、合金Bは3g減って(y-3)gとなりAとBの合計もBが3g減ることで(x+y-3)gとなります。合金Aが45% Bが75% それを混ぜてできた合金が55%の銀を含むことに着目すると
0.45x+0.75(y-3)=0.55(x+y-3)②が成り立ちます。
①②を連立して解いてx=2 y=4です。
なので答え Aを2g Bを4gです。

考え方は2つの異なる濃度の食塩水を混ぜる問題と同じですね。
苦手な生徒さんと勉強するときは連立方程式の解き方も基礎からやります。



※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方17 平均と人数

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

問題
生徒数が40人の学級で20点満点の小テストを行ったところ、平均は14.4であった。男女別に見ると、男子の平均点は14点、女子の平均点は15点であった。男子、女子それぞれの人数を求めなさい。

平均と人数の問題です。平均を考えるときは常に合計の点数を考えることが大切です。学校の先生が40人のクラスの平均点を出すときには40人の点数を全部足してそれを学級の人数40で割りますね。(一人欠席したら39人だというツッコミはここではなしです)。つまり平均=全体の合計点/全体の人数 であることを常に意識することが大切です。

さて学級の平均点は14.4点と出ています。つまり40人の点数をすべて足した合計を40で割ると14.4点になるので学級全体の点数を足した合計は14.4×40=576点です。
同様に男子の合計点は平均点が14点で人数をx人とすると14×xつまり14x点です。
一方男子をx人とすると女子はクラス全体の40人から男子のx人を引いて
(40-x)人です。その人数の平均が15点と書いてありますから女子の合計点は
15×(40-x)点 つまり15(40-x)点です。
男子の合計点と女子の合計点を足すと全体の合計点576点になりますから
14x+15(40-x)=576が成り立ちます。
これを解いて14x+600-15x=576 x=24となります。なので男子は24人です。
女子は40-24=16人となります。
なので答え 男子24人 女子16人です。

朝晩ずいぶんさむくなりましたね。だんだん本格的に冬になってくると感じます。
もみじの紅葉はこれから見頃と思いますが、桜の葉はずいぶん散っているようで近所の桜の木がある場所を歩くとずいぶん桜の葉が落ちています。紅葉、落葉のシーズンですね。



※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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