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方程式の文章題の解き方9 損益算

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

割引と利益の問題です。一般に損益算と呼ばれることが多い類型の問題です。



次の問いに答えなさい。

(1)リンゴを一個50円で何個か仕入れ、これを1個70円で売ったが12個売れ残った。しかし、全体としては仕入れ値の28.8%の利益になったという。仕入れたリンゴの個数を求めなさい。



(2)定価の2割引で売っても、まだ仕入れ値の1割の利益が出るように定価を決めたい。定価は仕入れ値の何%増につければよいですか。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じて市販の教材を使用しますので教材費は一冊あたりおおむね1000円から2000円程度になります。なので教材費が高額になることはありません。



(1)リンゴをxこ仕入れたとしましょう。それを70円で売ると12個売れ残ったと言っているのですから売れた数は(x-12)個です。その結果全体として22.8%の利益になったと言います。



まずリンゴをまったく利益を見込まずそのまま仕入れ値でx個売ったときの売り上げの総額は50円をx個売ったので50x個です。なので28.8%の利益が生まれる売上額は50x×1.288=64.4xです。



70円で売って12個売れ残ったときの売り上げが全体として仕入れ値の28.8%の利益を生むので

70(x-12)=64.4x が成り立ちます。



これを解くと 70x-840=64.4x 700x-8400=644x 56x=8400 x=150

なので答え150個です。



利益だけに着目して解いてもいいですが僕は売り上げ総額に着目して解きました。人によって好きな解き方があると思います。



(2)定価の2割引で売るので定価xとすると2割引の値段は0.8xです。この値段で(1)で求めた150個全部売ると売り上げ総額は0.8x×150=120x となります。



このとき仕入れ値の一割の利益があるといいます。仕入れ値の一割の利益を得たときの売り上げ総額は50円を150個売って一割儲かるのですから
50×150×1.1=8250円です。 なので120x=8250 が成り立ちます。



これを解いて x=825/12となります。 これが仕入れ値50円の何倍かを求めれば定価が仕入れ値の何%増しかわかります。a倍とすると

50a=825/12 が成り立ちます。これを解くとa=825/12×1/50

a=825/12×50 a=825/600 a=1.375 仕入れね50円を1.375倍すると売値になるので答え37.5%です。

頑張りましょう。



日が照ると暖かいですが朝晩はさすがに寒いですね。阪急の駅にもみじだよりのポスターが張ってあります。ほとんどの場所に色づき始めのワッペンとなりました。



一度見頃にワッペンを張ってまた色づき始めにワッペンを戻した箇所が何ヵ所かありました。ちょっと見て見頃と判断したけれどよく見ると全体としてはまだ色づき始めという判断になったのだと思います。自然の観察は個体差を見た上で総合的に判断しなければならないのでこういうことは起こりうると思います。駅員の人が観察してポスターを作る係りのひとに「まだ色づきはじめやで」と電話をしているのでしょうか。あれこれ想像してしまいます。


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方程式の文章題の解き方8 二つの濃度の食塩水を混ぜる問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。



食塩水の濃度の問題



問題

5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて7%の食塩水を400g作りたい。それぞれ何g混ぜるとよいですか。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使うので費用は一冊あたりおおむね1000円から2000円です。



5%の食塩水と10%の食塩水を会わせて400g作るので5%の食塩水をxグラムとすると10%の食塩水は(400-x)グラムです。一方、食塩水の中の食塩の重さ(質量)に着目すると5%の食塩水xグラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.05xグラム、また10%の食塩水(400-x)グラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.1(400-x)グラムとなります。


その結果出来上がる7%の食塩水400gに含まれる食塩の重さ(質量)は400×0.07=28グラムです。これは5%の食塩水に含まれる食塩と10%の食塩水に含まれる食塩を足すとその合計の重さ(質量)は28グラムになることを意味します。


なので等式 0.05x+0.1(400-x)=28が成り立ちます。

両辺を100倍して5x+10(400-x)=2800 5x+4000-10x=2800

5x=1200 x=240 なので5%の食塩水240g 10%の食塩水は400-240=160g

となります。 答え5%を240g 10%を160gです。



このように二つの濃度の食塩水を混ぜる問題は食塩水全体の重さ(質量)とそこに含まれる食塩の重さ(質量)の両方に着目して式をたてることがコツです。
頑張りましょう。



今日は立冬。暦の上では今日から冬ですね。昨日スターバックスに入ったらクリスマスソング 「サンタが町にやって来る」が流れていました。サンタクロースなんていないと思っているよりもサンタクロースはいると思っていた方が幸せだと思います。



まだ、そんなにクリスマスソングのメドレーというわけではありませんが、もう半月もすれば100Yenショップなどでもクリスマスソングがいっぱい流れる時期になると思います。



何年か前、家庭教師で使う徒歩ナビゲーションが故障してしまってオートバックスで代替品を購入したことがありました。時間がなくて駅からタクシーに乗り運転手の方に「スターバックスまでお願いします」と言ったら、運転手の人が「ええ?」となってしまって、あわてて「間違えました。オートバックスです」と言ったら「そうでしょう。おかしいと思いました」と運転手の人に言われたことがあります。



とても急いでいて気持ちがあせっていたのでスターバックスとオートバックスを間違えたと思います。試験でもあせりすぎると思わぬ間違いをすることがあります。落ち着いていきましょう。


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方程式の文章題解き方7 食塩水の濃度の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ていきます。



食塩水の濃度の問題



問題
5%の食塩水100gにに8%の食塩水を何gか加えて、6%の食塩水を作りたい。
(1)8%の食塩水をxグラム加えるとき6%の食塩水は何グラムできますか。
(2)食塩水中の食塩の重さの関係を方程式に表しxの値を求めなさい。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則としてご家庭でお手持ちの教材を使います。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使いますので教材費は一冊あたりおおむね1000円から2000円です。



(1)の食塩水の重さは100gにxグラムを加えるのですから単純に(100+x)gです。


(2)食塩の濃度の問題を解くには食塩の濃度の定義を知っていなければなりません。5パーセントの食塩水100あたりには5の食塩が含まれます。なぜなら%つまり百分率というのはその文字の通り全体を100としたときにそのいくらになるかという割合を表したものだからです。


さて問題文の指示にしたがってできた6%の食塩水全体の重さ(質量)は(1)で見たように(100+x)グラムです。ではこの6%の食塩水に含まれる食塩の重さ(質量)はいくらでしょう。

まず5%の食塩100グラムには100×5/100=5グラムの食塩が含まれます。また8%の食塩水xグラムには8x/100=8/100xグラムの食塩が含まれます。8/100xは計算しやすいように小数0.08xと表します。(8/100x=0.08xなので)。


ですから5%と8%の食塩水を問題の指示通りに混ぜて得られる6%の食塩水に含まれる食塩の質量は(5+0.08x)グラムです。一方こうしてできる食塩水全体の量は(1)で見たように(100+x)グラムです。


食塩の濃度は (含まれる食塩の質量/食塩水の質量)×100なのでこの式に則して方程式をたてます。すると<(5+0.08x)/(100+x)>×100=6となります。両辺を100で割って(5+0.08x)/(100+x)=6/100となります。なので(100+x)×0.06=5+0.08x

両辺を百倍して6(100+x)=500+8x、600+6x=500+8x、2x=100、x=50です。
答え x=50



濃度の問題は数学の学習と理科の学習が両方わかっていないと解けませんね。
頑張りましょう。


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方程式の文章題の解き方2

10月26日に続いて今日も方程式の文章題の解き方を記事にします。手元にある問題集から今日も時間と道のりの問題です。



2つの地点A BがありA地点からB地点までの道のりは700mである。太郎さんはA地点からB地点へ、花子さんはB地点からA地点へ向かって同時に歩き出して途中で2人は出会った。太郎さんの歩く速さを毎分80m、花子さんの歩く速度を毎分60mとするとき、太郎さんと花子さんは歩き出してから出会うまでに歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。



問題の文章の言葉をそれを解くために置き換えます。A、B両地点は700m離れていてそれぞれ反対方向から歩いてきた太郎さんと花子さんが出会うので、太郎さんと花子さん二人の合計で700m歩いた地点で二人は出会うわけです。なので太郎さんが歩いた距離をxメートルとすると花子さんが歩いた距離は(700-x)メートルです。時間は道のりを速度で割ると出ます。


なので太郎さんが花子さんと出会うまでにかかって時間はx/80です。(太郎さんの速度は分速80m) 花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間は

(700-x)/60です。(花子さんの速度は分速60m) 太郎さんが花子さんと出会うまでにかかった時間と花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間はもちろん等しいのでx/80=(700-x)/60がなりたちます。両辺を80と60の最小公倍数240倍すると3x=4(700-x) 3x=2800-4x 7x=2800 x=400です。
なので700-x=700-400=300 なので答、太郎さん400m 花子さん300mです。



太郎さんと花子さんが出会うまでにかかった時間をxとしても解けます。道のりは速度×時間なので太郎さんが花子さんと出会うまでに歩いた道のりは80xメートル、花子さんが太郎さんと出会うまでに歩いた道のりは60xメートルです。


二人が歩いた距離の合計が700mになったときに二人は出会います。(A、B両地点の道のりは700mだから)なので80x+60x=700 140x=700 x=5 なので二人は5分後に出会います。5分で太郎さんが進む道のりは80×5=400m 花子さんが進む道のりは
60×5=300m  なので答え、太郎さん400m 花子さん300mです。


このように進んだ道のりをxとして式をたててもかかった時間をxとして式をたてても同じ結果になります。



頑張りましょう。



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方程式の文章題の解き方

中学一年生の生徒さんと勉強するときは方程式の文章題が中学校で最初の関門やぞ、いつも言っています。僕自身も中一の時、方程式の文章題がなかなかわからなくて、ひょっとしたらこのままついてけなくなるかもと思ったことがありました。中一の期末テストで方程式の文章題はなんかあまり解けなかった記憶があります。夏休みに文章題をもう一度おさらいして苦手意識を克服しました。



さて僕の手元にある問題集の問題を一問みてみます。



A町からB町まで時速10kmの自転車でいくと、時速4kmで歩いていくより1時間早く着きます。A町からB町までの道のりを求めなさい。



A町からB町までの道のりをxkmとします。



時間の等しさをもとにして式をたてることを考えます。



時間はどうやって出すかというと、300kmの道のりをお父さんが時速60kmの車で走れば300/60=5時間となります。

このように道のりを速度でわると時間がでます。

このことに着目して式を立てます。

まずxkmの道のりを時速10kmで行くときの時間はx割る10つまりx/10です

同様にxkmの道のりを時速4kmで行くときの時間はx割る4つまりx/4です。

時速10kmで行くときの時間は時速4kmの時の時間より一時間少ないので
x/10=x/4-1です。

両辺を20倍して

2x=5x-20 3x=20 x=20/3となり、答え20/3kmです。



道のりの等しさをもとにして式をたてることもできます。

A町からB町までの道のりは時速10kmで行っても時速4kmで行っても等しいですからこのことに着目します。

時速10kmでA町からB町に行くのにx時間かかるとすると時速4kmだとそれより1時間多くかかることが問題文からわかるので4kmでA町からB町まで行ったときの時間は(x+1)時間です。

時速10kmで行っても4kmで行ってもA町からB町までの道のりは等しいので

10x=4(x+1)です。


ここでは距離は速度×時間ででることを使って式を立てています。時速60kmの車でお父さんが5時間走れば進んだ距離は60×5=300kmであることを連想すればわかりやすいと思います。


これを解くと

10x=4x+4 6x=4 x=2/3となります。


ここで答え2/3kmとやると間違いです。式をたてるときに今度はxは道のりではなく時間で立てているのでそのことを忘れるとケアレスミスになってしまいます。
この場合xは時間として式を立てているのでA町からB町まで

時速10kmでいくと2/3時間かかることがわかります。

道のりは時速10kmの早さで2/3時間進む道のりなので10×2/3=20/3
 
なので、答え20/3kmとなります。



道のりの等しさをもとに式を立てても時間の等しさをもとに式を立てても結果は同じになります。がんばりましょう。



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正負の計算

僕が小学校高学年の頃、友達の間で「僕マイナス100円落とした」とか「マイナス100円拾った」という表現が流行ったことがあります。僕は何でそんなややこしい言い方がはやるんや、と思いました。しかし、友達同士の会話の流れからマイナス100円拾ったということはつまり100円落としたと言うことでマイナス100円落としたということは逆に100円拾ったということなんやなと理解しました。その理解でちゃんと僕なりに会話についていってたのでその場はその理解でよかったわけです。



さて中学に入ると数学ではまず正負の数の計算が出てきます。1-(-1)=2という数式は中学校ではじめて出てきます。なぜ、マイナス1を引くと1足したのと同じことになるのか。これを考えるとき僕は小学校の時の友達の言い方を思い出しました。



マイナス100円落としたというのは逆に100円拾ったということ。つまりマイナスは逆。だからマイナス1引くとことは逆に1足すことと僕はその時覚えました。結局僕の場合、負の数を考えるときはその時の体験を思い出します。負は正の逆だと。特にマイナスは逆というのはマイナスの数を考えるとき大切な発想と思います。



数を説明するときはなるべく数直線を使うようにしています。数直線で見えるようにすると理解しやすいからです。5-3というのを数直線で考えると5という数を起点にしてそこから左へ3行った数、つまり2となります。なので5-(-3)は逆に5を起点として左の逆方向つまり右へ3つ行った数である8となります。ここでも僕はマイナスは逆という考え方をします。



掛け算はどうでしょう。5×3は0を起点として5の3回分右へ行った数つまり15となります。この説明を式に置き換えると5×3=0+5+5+5つまり0を起点として5の3回分となります。なので5×(-3)は0を起点として5の3回分右と逆の左へ行った数つまり-15となります。



マイナス同士の掛け算(-5)×(-3)はどうでしょう。これを考えるにはまず-5×3は-5が0を起点にして左に5行った数なのでその3回分つまり左へ15行った数-15なので-5×(-3)は逆に右へ15行った数15となります。掛け算になると足し算の時と比べてこの数直線とマイナスは逆というイメージを使った説明はちょっとしんどくなるような気もしますが、僕の場合とりあえずそんなふうに説明します。



割り算はどうかというと、この類比を使った説明ではちょっとしんどくなりますね。しかし割り算は逆数の掛け算なので中学校では割り算は割り算と考えるより逆数の掛け算と考えたほうがいいよと僕は生徒に言うようにしています。



数学って例えば1+1はなぜ2になるの。というようにもっとも基本的なことほどなぜを考えるのが難しいようにおもいます。僕が勤めていた予備校の数学でとても実力のあった先生がパンフレット用の原稿でよく「ようわからん。覚えてしまえ。でのりきって来た諸君は僕の授業を聞けば目からうろこが落ちるだろう」という感じの言い回しを使っていました。



なのでこういうのは気が引けるような気もするのですが正負の計算はなぜということをとことん考えるよりもルールを覚えてそれになれることが大切と結局はそう生徒に話しています。



しかし、覚えろだけではなかなか身につかないので僕なりに考えて上記のような説明をしている次第です。



ずいぶん以前にご縁のあった生徒さんでいつまでたっても正負の計算ミスをしばしばする子がいました。ノートを見ると5-(-3)と書くべきところに5--3と書いてあります。これではまぎらわしくなって計算ミスを誘発してしまいます。「-3の所かっこでくくってないやないか。正しい書き方をせえへんからいつまでたっても正しい計算ができんのや」とそのときは僕にしてはめずらしくその生徒さんにちょっときつい言い方をしてしまいました。



しかし、数学のように正しい筋道を追うことが大切な教科では正しい書き方をするのは必須ですよ。


               
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書いて覚えるか読んで覚えるか

受験業界で仕事をしていると、勉強は書いてマスターするのがいいのか読んでマスターするのがいいのかということが話題になることがあります。僕が勤めていた予備校で英語の人気講師のS先生が職員の前で勉強方法についてレクチャーされたことがありました。



「英単語をずーっとたくさんノートに書いて手の小指の側が真っ黒になるまで書いている子がいますが書いても書いてもなかなか覚えられないというケースもかなりあります」とS先生はみんなの前でいいました。本当に手が黒光りするくらい真っ黒になるまで単語を書いても単語テストなどになるとなかなか成果が上がらないという生徒さんを僕もときどき見てきたのでS先生のおっしゃることが僕には
わかる気がしました。



質疑応答の時にある職員が「僕は書いて覚えるように生徒に指導しているのですが書くのは効果がないんですか」と質問しました。「いや、そういうわけではないので書くのもいいと思います」とS先生は答えました。



結局書いても覚えられない生徒さんはいますが書いても効果が上がらないということはもちろん言い切れるわけではありません。



僕は予備校勤務時代、自習室当番になったときにそこで勉強する生徒のことをいろいろ見ていました。書いても成果があがらない生徒さんを見ていると
もう手が真っ黒になるまでひとつの単語をノートに1ページつかって書いて書きまくっています。そして僕は思いました。あの子は書いて覚えているというよりも
書くことそのものに一心になってしまっていると。



英単語など比較的単純暗記(こういう言い方は語弊があるかもしれませんが)に属する事柄を書いて覚えようとすると、しばしば覚えるという意識が知らない間に薄れてしまって覚えるよりも書くことそのものに集中してしまうという状況が生まれるように思います。



なので僕は基本的に英単語とか社会の用語などは書くよりも答えのところをしおりなどで隠して目で見て覚える、つまりは読んで覚えるといいよというふうに生徒には話してきました。



ただ、見ておぼえさえすればいいかというと単語でもつづりがどうしても覚えられないというときは書いて手を動かすことで覚えられることはあります。
これはいつもワープロで文字を書いていて実際に紙の上で手を動かして文字を書くことをしないと、いざ手書きの時に漢字が書けなくなってしまうことをイメージすればわかりやすいと思います。



同様に社会などでも用語の漢字が難しいなどの場合は書いて覚えるということも大切です。要は目で見て覚えるにしても書いて覚えるにしても今はなぜ目で見るのか、なぜ書くのかという目的意識をしっかり持つことが大切ということです。書いて覚えるつもりが知らぬ間に書くことそのものに一心になってしまていたというように覚えるという目的を忘れてしまうとなかなか覚えられません。この点に注意しましょう。



僕の高校時代はまだコピーがそんなに普及していなかったので期末テストの前になると友達にノートをかりて必死に写しているH君という子がいました。その子は授業をぼーっと聞いていたのでノートもとっていなかったりしたのです。

テストの前になると貧乏ゆすりをしながら机にかぶりつくようなかっこうでもう一心に友達のノートを写していました。先生がH君の後ろに立って「H君は授業中にいったい何をやっているのかな?」と言っても気づかないくらいH君は一心に友達のノートを写していました。



そのH君も写して覚えるというよりもう写すことそのものに集中している感じだったので成績は落第しない程度というものでした。



さて英単語や社会の他に数学という教科があります。この教科に関しては僕は読むことよりもむしろ書くことを重視しています。数学は解答の筋道をちゃんと追うことが大切な教科です。紙に書いて視覚化して、ひとつひとつ解答にいたる筋道を確認しながらマスターしていくことで学力がしっかりつくと考えています。



しかし、これも短時間で解法の定石をおさらいしたいという時には読んでおさらいするというほうが効率のいい場合もあります。




ということで僕が考えていることをざっとまとめると



英単語や社会の用語のようにどちらかというと覚える系のことは目で見て覚えたほうがよい。書いたほうが覚えやすいと言う人はそれもOKだけれど書くことそのものが目的になってしまわないように注意が必要。



数学など解答の筋道をしっかり追うことが大切な教科は筋道を追いながら書くことが大切。ただし、短期間で定石や公式的なことをおさらいしたいときは目で見ることも有効。



ということになります。



これは僕の考えで実際は個々の生徒さんによってどの方法が効果が上がるかは異なるので、それは実際の生徒さんをみながらアドバイスするようにしています。



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