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方程式の文章題の解き方10 旅人算

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。旅人算と呼ばれることの多い類型の問題です。



弟は発車2分前に駅につくため、分速75m で家を出発した。弟の出発後15分たって忘れ物をしていることに気づいた兄は同じ道を自転車で弟を追いかけた。自転車の速さを分速200mとすると、兄は出発後何分で弟に追いつきますか。また、駅までの道のりが1.5kmの場合はどうですか。



問題は文英堂詳しい問題集数学中学一年より引用実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力を目標に応じた市販の教材を使用しますので教材費は一冊1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。



兄が出発後x分で弟に追いつくとすると弟は兄より15分早く出発しているので
(x+15)分進んだ距離だけ家から離れていることになります。なので兄が分速200mでx分進んだ距離と弟が分速75mで(x+15)分進んだ距離は等しくなります。

なので 200x=75(x+15)が成り立ちます。

これを解くと200x=75X+1125 125x=1125 x=9となります。

なので 答え 9分後です。


兄が出て9分後に弟は15分早く出発しているので9+15=24分、家を出てから経過しています。弟は24分で家から75×24=1800mのところにいます。ところが家から駅までの道のりは1500mなのでこれは不合理です。つまり兄はこの問題の条件では弟に追いつかないということになるます。



とここまでやったとき弟は発車の2分前に駅につくという問題の条件は必要ないではないかと思いました。


それで問題集の解答を見ると弟は駅まで1.5kmの道のりを分速75mで進むので駅までは1500÷75=20分かかる。発車の2分前に弟は駅につくので20+2=22分後に弟は電車に乗る。兄は分速200mで駅まで行くので駅につくまでにかかる時間は1500÷200=7.5分かかる。つまり駅につくのは7.5+15=22.5で弟が出発してから22.5分後に駅につく。


ところが弟は出発して22分後に電車に乗るので兄が駅についたときには弟はすでに電車に乗って0.5分経過している。なので兄は弟に追いつかないという説明が問題集の解答には出ていました。要するにそういうことです。



実際の入試でこの問題が出たらちょっと引っ掛け問題の一種になるかもしれませんね。



今日はお昼ころ雷雨がありました。ちょっと怖かったです。


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方程式の文章題の解き方9 損益算

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。

割引と利益の問題です。一般に損益算と呼ばれることが多い類型の問題です。



次の問いに答えなさい。

(1)リンゴを一個50円で何個か仕入れ、これを1個70円で売ったが12個売れ残った。しかし、全体としては仕入れ値の28.8%の利益になったという。仕入れたリンゴの個数を求めなさい。



(2)定価の2割引で売っても、まだ仕入れ値の1割の利益が出るように定価を決めたい。定価は仕入れ値の何%増につければよいですか。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じて市販の教材を使用しますので教材費は一冊あたりおおむね1000円から2000円程度になります。なので教材費が高額になることはありません。



(1)リンゴをxこ仕入れたとしましょう。それを70円で売ると12個売れ残ったと言っているのですから売れた数は(x-12)個です。その結果全体として22.8%の利益になったと言います。



まずリンゴをまったく利益を見込まずそのまま仕入れ値でx個売ったときの売り上げの総額は50円をx個売ったので50x個です。なので28.8%の利益が生まれる売上額は50x×1.288=64.4xです。



70円で売って12個売れ残ったときの売り上げが全体として仕入れ値の28.8%の利益を生むので

70(x-12)=64.4x が成り立ちます。



これを解くと 70x-840=64.4x 700x-8400=644x 56x=8400 x=150

なので答え150個です。



利益だけに着目して解いてもいいですが僕は売り上げ総額に着目して解きました。人によって好きな解き方があると思います。



(2)定価の2割引で売るので定価xとすると2割引の値段は0.8xです。この値段で(1)で求めた150個全部売ると売り上げ総額は0.8x×150=120x となります。



このとき仕入れ値の一割の利益があるといいます。仕入れ値の一割の利益を得たときの売り上げ総額は50円を150個売って一割儲かるのですから
50×150×1.1=8250円です。 なので120x=8250 が成り立ちます。



これを解いて x=825/12となります。 これが仕入れ値50円の何倍かを求めれば定価が仕入れ値の何%増しかわかります。a倍とすると

50a=825/12 が成り立ちます。これを解くとa=825/12×1/50

a=825/12×50 a=825/600 a=1.375 仕入れね50円を1.375倍すると売値になるので答え37.5%です。

頑張りましょう。



日が照ると暖かいですが朝晩はさすがに寒いですね。阪急の駅にもみじだよりのポスターが張ってあります。ほとんどの場所に色づき始めのワッペンとなりました。



一度見頃にワッペンを張ってまた色づき始めにワッペンを戻した箇所が何ヵ所かありました。ちょっと見て見頃と判断したけれどよく見ると全体としてはまだ色づき始めという判断になったのだと思います。自然の観察は個体差を見た上で総合的に判断しなければならないのでこういうことは起こりうると思います。駅員の人が観察してポスターを作る係りのひとに「まだ色づきはじめやで」と電話をしているのでしょうか。あれこれ想像してしまいます。


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方程式の文章題の解き方8 二つの濃度の食塩水を混ぜる問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。



食塩水の濃度の問題



問題

5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて7%の食塩水を400g作りたい。それぞれ何g混ぜるとよいですか。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使うので費用は一冊あたりおおむね1000円から2000円です。



5%の食塩水と10%の食塩水を会わせて400g作るので5%の食塩水をxグラムとすると10%の食塩水は(400-x)グラムです。一方、食塩水の中の食塩の重さ(質量)に着目すると5%の食塩水xグラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.05xグラム、また10%の食塩水(400-x)グラムに含まれる食塩の重さ(質量)は0.1(400-x)グラムとなります。


その結果出来上がる7%の食塩水400gに含まれる食塩の重さ(質量)は400×0.07=28グラムです。これは5%の食塩水に含まれる食塩と10%の食塩水に含まれる食塩を足すとその合計の重さ(質量)は28グラムになることを意味します。


なので等式 0.05x+0.1(400-x)=28が成り立ちます。

両辺を100倍して5x+10(400-x)=2800 5x+4000-10x=2800

5x=1200 x=240 なので5%の食塩水240g 10%の食塩水は400-240=160g

となります。 答え5%を240g 10%を160gです。



このように二つの濃度の食塩水を混ぜる問題は食塩水全体の重さ(質量)とそこに含まれる食塩の重さ(質量)の両方に着目して式をたてることがコツです。
頑張りましょう。



今日は立冬。暦の上では今日から冬ですね。昨日スターバックスに入ったらクリスマスソング 「サンタが町にやって来る」が流れていました。サンタクロースなんていないと思っているよりもサンタクロースはいると思っていた方が幸せだと思います。



まだ、そんなにクリスマスソングのメドレーというわけではありませんが、もう半月もすれば100Yenショップなどでもクリスマスソングがいっぱい流れる時期になると思います。



何年か前、家庭教師で使う徒歩ナビゲーションが故障してしまってオートバックスで代替品を購入したことがありました。時間がなくて駅からタクシーに乗り運転手の方に「スターバックスまでお願いします」と言ったら、運転手の人が「ええ?」となってしまって、あわてて「間違えました。オートバックスです」と言ったら「そうでしょう。おかしいと思いました」と運転手の人に言われたことがあります。



とても急いでいて気持ちがあせっていたのでスターバックスとオートバックスを間違えたと思います。試験でもあせりすぎると思わぬ間違いをすることがあります。落ち着いていきましょう。


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方程式の文章題解き方7 食塩水の濃度の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ていきます。



食塩水の濃度の問題



問題
5%の食塩水100gにに8%の食塩水を何gか加えて、6%の食塩水を作りたい。
(1)8%の食塩水をxグラム加えるとき6%の食塩水は何グラムできますか。
(2)食塩水中の食塩の重さの関係を方程式に表しxの値を求めなさい。



問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用。実際の家庭教師の授業では原則としてご家庭でお手持ちの教材を使います。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販の教材を使いますので教材費は一冊あたりおおむね1000円から2000円です。



(1)の食塩水の重さは100gにxグラムを加えるのですから単純に(100+x)gです。


(2)食塩の濃度の問題を解くには食塩の濃度の定義を知っていなければなりません。5パーセントの食塩水100あたりには5の食塩が含まれます。なぜなら%つまり百分率というのはその文字の通り全体を100としたときにそのいくらになるかという割合を表したものだからです。


さて問題文の指示にしたがってできた6%の食塩水全体の重さ(質量)は(1)で見たように(100+x)グラムです。ではこの6%の食塩水に含まれる食塩の重さ(質量)はいくらでしょう。

まず5%の食塩100グラムには100×5/100=5グラムの食塩が含まれます。また8%の食塩水xグラムには8x/100=8/100xグラムの食塩が含まれます。8/100xは計算しやすいように小数0.08xと表します。(8/100x=0.08xなので)。


ですから5%と8%の食塩水を問題の指示通りに混ぜて得られる6%の食塩水に含まれる食塩の質量は(5+0.08x)グラムです。一方こうしてできる食塩水全体の量は(1)で見たように(100+x)グラムです。


食塩の濃度は (含まれる食塩の質量/食塩水の質量)×100なのでこの式に則して方程式をたてます。すると<(5+0.08x)/(100+x)>×100=6となります。両辺を100で割って(5+0.08x)/(100+x)=6/100となります。なので(100+x)×0.06=5+0.08x

両辺を百倍して6(100+x)=500+8x、600+6x=500+8x、2x=100、x=50です。
答え x=50



濃度の問題は数学の学習と理科の学習が両方わかっていないと解けませんね。
頑張りましょう。


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方程式の文章題の解き方6 時計の長針が短針に追いつく問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。



時計の長針が短針に追い付く問題。


問題
3時と4時の間で、時計の長針と短針が重なる時刻を求めなさい。

問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用
実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。それ以外の場合も個々の学力と目標に応じた市販の教材を使用しますので費用は一冊あたりおおむね1000円から2000円程度です。教材に費用が発生するときは必ず保護者の同意を得ます。




図のように3時の時点で短針は長針より90度先に進んでいることになります。この90度の距離が0になるまで長針が短針を追いかけて追いつく時刻はいつかという風に考えます。するとこの問題は道での追いつきの問題と同じ考え方で解けることがわかります。


時計の長針は60分で一周つまり360度回転しますから1分では360/60=5度回転します。時計の短針は1時間に一周の十二分の一つまり

360/12=30度回転します。なので1分ではその60分の1つまり30/60=0.5度回転します。なので最初90度先のところにあって分速0.5度で進む短針を長針が分速6度で追いかけることになります。


x分後に追いつくとします。このとき長針は時計の12のところを起点として1分で6度進むので
6x度進んだ位置にあります。一方、短針は時計の3のところを起点として1分で0.5度進むので
0.5x度進んだ位置にあります。等式を成り立たせるためには短針の起点も長針と同じ12のところにそろえなければなりません。


そうすると短針は3時にすでに12よりも90度進んだところにあるわけですから0.5x度に90度を足して短針は12を起点として90+0.5X度のところにあります。


長針と短針の12を起点とした角度が等しくなったときに長針と短針は重なるので
6x=90+0.5xが成り立ちます。

これを解くと5.5x=90、 x=90/5.5、 x=900/55=180/11=16と4/11
なので答え3時16と4/11分となります。

頑張りましょう。



今日、阪急の駅の紅葉カレンダーを見たら沿線のいくつかの場所に色づき始めのワッペンが貼ってありました。水無瀬の駅前の桜も半分くらい葉が紅になりました。


だんだん冬ですね。


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方程式の文章題の解き方5 追いつきの問題

今日も方程式の文章題の解き方を考えます。

追いつきの問題



問題

A駅から電車とバスが並行して走っている。時速24kmのバスが出発してから3分後に時速60kmの電車が同じ方向に出発した。電車は出発後何分で駅からの距離がバスと同じになりますか。また、それはA駅から何kmのところですか。


問題は文英堂くわしい問題集数学中学一年より引用(実際の家庭教師の授業では原則お手持ちの教材を使います。もしそれ以外を使う場合も保護者の同意を得た上で市販の教材を使用するので価格は一冊おおむね1000円から2000円程度です)



この問題はちょっと難しいです。なぜなら速度が時速つまり一時間あたりどれだけの距離を進むかという単位で表されているのに、問いの内容は出発後何分で追いつきますかと分の単位で聞いているからです。単位が異なるときは必ず単位をそろえなければなりません。ここが大切なポイントです。



時間に単位をそろえてみましょう。一時間は60分、なので1分を時間に直すと逆に1割る60=1/60時間なので3分は(1/60)×3=3/60=1/20時間です。



なので問題の文章を分から時間に置き換えて考えると時速24kmのバスが出発してから3分後とはつまり時速24kmのバスが出発してから3/60=1/20時間後です。なので問題文よりバスが出発してから1/20時間後に電車は出発します。


電車の駅からの距離がバスのそれと同じになるときバスは電車より3分つまり1/20時間余計に走行しています。(電車はバスの1/20時間後に出発するから)。時速60kmの電車が出発してx時間後に時速24kmのバスと距離が同じになるとするとその時バスはx時間より1/20時間余計に走行していますから24(x+1/20)=60x が成り立ちます。



これを計算すると24x+24/20=60x 両辺を20倍して480x+24=1200x、
720x=24、 x=24/720=1/30、 x=1/30時間となります。問題は何分後ですかときいているのでもう一度、時間を分に直さなければなりません1/30時間=60×(1/30)=2分です。
答え 2分



さらに問題はその時のA駅からの距離はどれだけかときいているので時速60kmで1/30時間進む距離つまり60×(1/30)=2km なので 答え2kmです。
まとめると 答え 2分後A駅から2kmのところとなります。



単位をしっかりそろえることが大切です。

頑張りましょう。



今日はだいぶん寒くなりました。阪急の駅に紅葉マップのポスターがはりつけてありましたがまだ色づきマークのワッペンがはってあるところはありませんでした。これから紅葉シーズンにそなえて駅でも準備が進んでいるようです。だんだん冬になっていくなと実感しました。



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方程式の文章題の解き方4

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。


 

問題

210人の生徒に好きなスポーツを1つだけ書かせたところ、野球と書いた生徒の数はテニスと書いた生徒の数の2倍より14人少なく、野球とテニス以外のスポーツを書いた生徒の数は、38人であった。野球と書いた生徒の数を求めなさい。
※問題は文英堂 くわしい問題集数学中学一年より引用文英堂 くわしい問題集数学中学一年

野球とテニス以外の人が38人いるのでこれを生徒の全体数210から引いてしまいましょう。210-38=172です。野球とテニス以外の人の数を引いたので残った172人は野球かテニスのいずれかです。つまり野球が好きと書いた生徒とテニスが好きと書いた生徒の合計は172人となります。



そこで野球を好きと書いた生徒の人数をxとするとテニスが好きと書いた生徒の人数は合計の172人から野球が好きと書いた生徒の数を引けばいいので
(172-x)人です。野球と書いた生徒の人数はテニスと書いた生徒の数の2倍より14人少ないのでそのまま式にして

x=2(172-x)-14です。これを解くとx=344-2x-14 3x=330 x=110です。
なので野球と書いた生徒の数は110人 答え110人です。

頑張りましょう。



今日は京都コンサートホールでフィラデルフィア管弦楽団と言うアメリカのオーケストラを聴きました。


ラフマニノフのピアノ協奏曲第2番とドボルザークの交響曲第9番「新世界より」をオーケストラは演奏しました。アメリカのオーケストラなのでアジア系のプレーヤー、ヨーロッパ系のプレーヤー、アフリカ系のプレーヤーなどいろんな人種のプレーヤーがいます。アフリカ系のクラリネット奏者がラフマニノフの美しい旋律を思い入れたっぷりに演奏するのを聴いて音楽は人類共通の言語だなと思いました。


ピアノ協奏曲が終わったあとピアニストはブラームスのピアノソロの曲をアンコールで演奏しました。ピアノソロのアンコールをするときには指揮者は普通、舞台の袖に引っ込んでいるのですが、今日の指揮者はピアニストがアンコールを演奏するのをピアノのそばの指揮台に腰かけて聴いていました。聴衆とオーケストラのプレーヤーと指揮者がみんな一緒にピアノソロを聴くと言う演出でとても心暖まる気持ちになりました。指揮者が人間味にあふれる人でよかったです。


ドボルザークの新世界よりという曲はなぜ新世界ではなく新世界よりとよりがつくのだろうと子供の頃思っていました。

大人になって英語のタイトルを見ると

from the new worldとなっています。new worldとはアメリカのことで故郷のチェコからアメリカに行ったドボルザークがアメリカより故郷へという意味で新世界よりという曲のタイトルになりました。


語学や歴史がわかるようになるとだんだん認識が広がるものだなと思います。


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方程式の文章題の解き方3

今日も方程式を使って文章題を解く方法を考えます。



問題

現在の父の年齢はA君のちょうど5倍であるが、18年後にはちょうど2倍になるという。A君は現在何歳ですか。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中1より引用。



現在の父の年齢がA君の5倍なのでA君の現在の年齢をxと置くと父の現在の年齢はその5倍の5xです。18年後の年齢は現在の年齢に18をたすと出ますから父の18年後の年齢は5x+18でA君の18年後の年齢はx+18です。18年後の父の年齢がA君の年齢の2倍なので5x+18=2(x+18)です。これを解くと5x+18=2x+36 3x=18 x=6です。なので、答え6才です。



ちょっと確かめ算をしてみましょう。現在A君が6才なので父はその5倍の30才です。18年後はA君は6+18で24才 父は30+18で48才
確かに48才は24才の2倍なので問題文に書いてある通り18年後の父の年齢はA君の2倍ですね。このようにテストで時間が余ったときは実際に出た答えで確かめ算をすると計算違いによるケアレスミスの発見になりますよ。



十月の最後はハロウィンということで道頓堀川に橋から飛び込んだ人がいたそうです。盛り上がってやってしまったと思いますが真似して怪我しないように気をつけましょう。僕の近所のスーパーマーケットはハロウィンが終わったらもうクリスマスの飾りつけが始まっています。早いですね。



頑張りましょう。



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方程式の文章題の解き方2

10月26日に続いて今日も方程式の文章題の解き方を記事にします。手元にある問題集から今日も時間と道のりの問題です。



2つの地点A BがありA地点からB地点までの道のりは700mである。太郎さんはA地点からB地点へ、花子さんはB地点からA地点へ向かって同時に歩き出して途中で2人は出会った。太郎さんの歩く速さを毎分80m、花子さんの歩く速度を毎分60mとするとき、太郎さんと花子さんは歩き出してから出会うまでに歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。



問題の文章の言葉をそれを解くために置き換えます。A、B両地点は700m離れていてそれぞれ反対方向から歩いてきた太郎さんと花子さんが出会うので、太郎さんと花子さん二人の合計で700m歩いた地点で二人は出会うわけです。なので太郎さんが歩いた距離をxメートルとすると花子さんが歩いた距離は(700-x)メートルです。時間は道のりを速度で割ると出ます。


なので太郎さんが花子さんと出会うまでにかかって時間はx/80です。(太郎さんの速度は分速80m) 花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間は

(700-x)/60です。(花子さんの速度は分速60m) 太郎さんが花子さんと出会うまでにかかった時間と花子さんが太郎さんと出会うまでにかかった時間はもちろん等しいのでx/80=(700-x)/60がなりたちます。両辺を80と60の最小公倍数240倍すると3x=4(700-x) 3x=2800-4x 7x=2800 x=400です。
なので700-x=700-400=300 なので答、太郎さん400m 花子さん300mです。



太郎さんと花子さんが出会うまでにかかった時間をxとしても解けます。道のりは速度×時間なので太郎さんが花子さんと出会うまでに歩いた道のりは80xメートル、花子さんが太郎さんと出会うまでに歩いた道のりは60xメートルです。


二人が歩いた距離の合計が700mになったときに二人は出会います。(A、B両地点の道のりは700mだから)なので80x+60x=700 140x=700 x=5 なので二人は5分後に出会います。5分で太郎さんが進む道のりは80×5=400m 花子さんが進む道のりは
60×5=300m  なので答え、太郎さん400m 花子さん300mです。


このように進んだ道のりをxとして式をたててもかかった時間をxとして式をたてても同じ結果になります。



頑張りましょう。



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方程式の文章題の解き方

中学一年生の生徒さんと勉強するときは方程式の文章題が中学校で最初の関門やぞ、いつも言っています。僕自身も中一の時、方程式の文章題がなかなかわからなくて、ひょっとしたらこのままついてけなくなるかもと思ったことがありました。中一の期末テストで方程式の文章題はなんかあまり解けなかった記憶があります。夏休みに文章題をもう一度おさらいして苦手意識を克服しました。



さて僕の手元にある問題集の問題を一問みてみます。



A町からB町まで時速10kmの自転車でいくと、時速4kmで歩いていくより1時間早く着きます。A町からB町までの道のりを求めなさい。



A町からB町までの道のりをxkmとします。



時間の等しさをもとにして式をたてることを考えます。



時間はどうやって出すかというと、300kmの道のりをお父さんが時速60kmの車で走れば300/60=5時間となります。

このように道のりを速度でわると時間がでます。

このことに着目して式を立てます。

まずxkmの道のりを時速10kmで行くときの時間はx割る10つまりx/10です

同様にxkmの道のりを時速4kmで行くときの時間はx割る4つまりx/4です。

時速10kmで行くときの時間は時速4kmの時の時間より一時間少ないので
x/10=x/4-1です。

両辺を20倍して

2x=5x-20 3x=20 x=20/3となり、答え20/3kmです。



道のりの等しさをもとにして式をたてることもできます。

A町からB町までの道のりは時速10kmで行っても時速4kmで行っても等しいですからこのことに着目します。

時速10kmでA町からB町に行くのにx時間かかるとすると時速4kmだとそれより1時間多くかかることが問題文からわかるので4kmでA町からB町まで行ったときの時間は(x+1)時間です。

時速10kmで行っても4kmで行ってもA町からB町までの道のりは等しいので

10x=4(x+1)です。


ここでは距離は速度×時間ででることを使って式を立てています。時速60kmの車でお父さんが5時間走れば進んだ距離は60×5=300kmであることを連想すればわかりやすいと思います。


これを解くと

10x=4x+4 6x=4 x=2/3となります。


ここで答え2/3kmとやると間違いです。式をたてるときに今度はxは道のりではなく時間で立てているのでそのことを忘れるとケアレスミスになってしまいます。
この場合xは時間として式を立てているのでA町からB町まで

時速10kmでいくと2/3時間かかることがわかります。

道のりは時速10kmの早さで2/3時間進む道のりなので10×2/3=20/3
 
なので、答え20/3kmとなります。



道のりの等しさをもとに式を立てても時間の等しさをもとに式を立てても結果は同じになります。がんばりましょう。



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