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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強53 二次方程式の解

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家庭教師ナカシマは2020年4月1日より授業料を60分2000円 90分3000円 に改定しました。これにより家庭教師がさらにリーズナブルな価格で始めやすくなりました。

授業料、家庭教師が阪急水無瀬駅またはJR島本駅からご家庭までの移動に使う公共の交通機関の交通費 もし市販の問題集を使用する場合はその実費(教材はお手持ちのものを優先的に使用)、それ以外の費用は一切かかりません。料金について詳しくはお問い合わせください。明朗会計に努めます。以上の価格はすべて税込み価格です。 


問題
方程式x²+mx+64=0の解は一つだけであるという。このときmの値を求めなさい。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
x²+mx+64=0より
(x+m/2)²-m²/4+64=0
なので
(x+m/2)²=m²/4-64
なので
m²/4-64=0のとき
(x+m/2)²=0となり方程式の解は
x=-m/2の一つだけになる。
なので
m²/4-64=0
m²/4=64 
m²=64×4  
なので
m=±√64×4=±(8×2)=±16

なので
答え m=±16

コロナも長引きそうですね。暑いですし。コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。
夕方、急に雷と風を伴った雨が降ってきて傘の骨が折れそうになりました。

大阪青凌高校が島本町に移ってから島本町内で高校生の子の姿を見ることが多くなりました。


※実際の家庭教師の授業では教材はお手持ちのものを優先的に使います。そうでない場合は入試傾向にそった市販の問題集等を使用しますので教材費はもしかかったとしても一冊あたり1000円から2000円くらいです。
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家庭教師ナカシマは個人契約の家庭教師です。

平均点くらいの生徒さんに。不登校の生徒さんの相談もお受けします。

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只今、生徒募集中です。お問い合わせお待ちしています。家庭教師ナカシマtel090-9884-7947
数ある塾や家庭教師からナカシマを選んでいただきましたら、できる限り丁寧に教えて勉強ができるようになるように努めます。

■2020年4月1日より家庭教師の授業料を60分2000円 90分3000円 120分4000円に改定します。これによりさらに家庭教師が受講しやすくなります。■







































































島本町 高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強52 二次方程式の解

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今日は数学の勉強をします。

問題 
二次方程式x²-8x+m=0の2つの解のうち1つの解が4+√7のときmの値を求めなさい。また他の解も求めなさい。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
問題文より
x=4+√7
なので
x-4=√7
両辺を二乗して
x²-8x+16=7
なので
x²-8x+9=0①
これが
x²-8x+m=0なので
m=9
また①を解いて
x=4±√7
なのでもう一つの解は
x=4-√7である。


この他にもいろいろ解き方はあると思います。

昨日の新聞に海岸に水着でいっぱい人が繰り出している写真が載っていました。こんなことするなんて、きっとアメリカの西海岸だろうと思ってよくみるとなんと日本の神奈川県の海岸でした。暑くてたまらず海に出たのだと思いますが、海岸はコロナで正式に海開きをしておらず遊泳可能区間をしめすブイもなかったと書いてありました。これではコロナの危険もあるしそれ以上に海難事故の危険も高くなってしまうと思いました。

コロナに負けないように頑張りましょう。
大阪青凌高校が島本町に移ってから島本町内で高校生の子の姿を見ることが多くなりました。


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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強51

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問題
次の方程式を平方根の考えを使って解きなさい。

x²+8x+2=0

説明
x²+8x+2=0
なので
(x+4)²-16+2=0
(x+4)²=14
x+4=±√14
x=-4±√14

答えx=-4±√14

もちろん解の公式を使っても解けます。その解の公式はこの平方根を考えを使った解き方から導き出されるものです。僕自身は解の公式は便利だけれど、ど忘れすることがあるので平方根の考えを使った解き方のほうが好きです。ただ、それは各自が好きな解き方で解いたらいいと思います。

田舎の知人から電話がかかってきて暑いやろう元気かと言ってきましたが、僕の場合、今年は電車を始めとして窓を開けて換気をしながら冷房しているところが多いのでクーラーの風が冷たくてその寒さのほうが気になるということがあります。

ただ、この感じ方にも個人差があって電車に乗っていても暑そうにうちわであおいでいる人もいますね。何事にも個人差というのは常にあるということを意識するのは大切なことだと僕は思います。

コロナに負けずに頑張りましょう。

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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強50 式の展開

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今日は数学の勉強をします。

問題
x²+x+1を (x+1)²+A(x+1)+Bの形に変形したい。
このときA Bの値を求めなさい。

(x+1)²+A(x+1)+B=x²+2x+1+Ax+A+B
=x²+(2+A)x+A+B+1
これがx²+x+1に等しいので係数を比較して
2+A=1① A+B+1=1②
①②を連立して解いてA=-1 B=1
答え A=-1 B=1

コロナに負けないように頑張りましょう。
暑くなってきたのでバタッと倒れそうになったらマスクをはずす勇気も必要と最近思うようになりました。

電車が窓を開けて冷房しているのでクーラーから強烈に冷たい風が身体に直接当たることがあります。それで身体が急に冷えたせいかしゃっくりがとまらなくなったことが2,3度ありました。もう夏でも恥ずかしがらずにクーラーが寒いと感じたらネックウォーマーなどで自衛する覚悟でいます。

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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強49 式による証明

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問題
連続する2つの整数の2乗の差は、その2つの整数の和に等しいことを示しなさい。
(問題は文英堂くわしい問題集数学中学3年より引用)


説明
連続する2つの整数を
それぞれn n+1とする (ただしnは整数)

このとき2つの整数の和は
n+n+1=2n+1①となる

一方2つの整数の2乗の差は
(n+1)²-n²
=n²+2n+1-n²
=2n+1②

① ②より
①=②がなりたつ
なので連続する2つの整数の2乗の差はその2つの整数の和に等しい。

文字式を使うと一般的に証明することが可能になりますね。
数学をしっかりすると数学以外のことでもいろいろものを考えたり説明するときに自分は今一般的な文脈でものを考えたり説明したりしているのか、それとも個別の事例に即してものを考えたり説明したりしてるのかが比較的意識しやすくなります。そういう考え方は数学以外のいろいろな生活の場面で役に立つはずです。プレゼンテーションなどをするときもきっとわかりやすい説明ができるようになると思います。

しっかり頑張りましょう。

コロナと暑さに負けないように頑張りましょう。
もうコロナは長期戦と考えなければならないと思いますが、覚悟を決めて辛抱しながら頑張りたいと僕も思っています。

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高槻市 島本町家庭教師ナカシマの数学の勉強48 式による証明

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問題
連続する2つの奇数を2m+1 2m+3とするとき、これらの奇数の二乗の差は、8の倍数になることを示しなさい。

説明
二乗の差はそのまま与えられた式の二乗の差を計算します。

すると
(2m+3)²-(2m+1)²
=4m²+12m+9-4m²-4m-1
=8m+8=8(m+1)
m は整数なのでm+1は整数
なので8(m+1)は8の倍数。
つまり連続する奇数の差は8の倍数である。


連続する奇数の二乗の差、例えば7の二乗と9の二乗の差は
9×9-7×7=81-49=32=8×4で確かに8の倍数ですね。
しかし個々の数で確かめたのではあくまで個々の場合のことしか
証明できませんが文字で証明することで一般的に証明することが可能になります。

私達は話をしていて一般的事例について話をしているのか個々の事例について話しているのかわからなくなってしまうことがあります。

また、個々の事例が話題になっているのか、一般的な事例が話題になっているのかが理解できなくて話を取り違えて理解してしまうということも経験すると思います。

数学を学ぶと一般的事例と個々の事例を区別する思考力が養われるので、そういう話の取り違えとか誤解を生む可能性がなくなるというわけにはいきませんが少なくなるとは思います。
そして、そういう力は自分がものを人に説明したりまた話を理解するために大切な力のひとつと言えると思います。

しっかりとプレゼンテーションができる力を養うためにも数学の考え方は大切と思います。

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高槻市 島本町 家庭教師ナカシマの数学の勉強47 いろいろな因数分解

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問題
次の式を因数分解しなさい。
(3x+1)(x-4)-2(x-1)²+16
※問題は文英堂くわしい問題集数学中学三年より引用

説明
与えられた式を展開すると
3x²-12x+x-4-2x²+4x-2+16
=x²-7x+10
=(x-2)(x-5)

なので答え (x-2)(x-5)

そのままの形では糸口が見えないので展開すると積が10 和が-7になる数の組み合わせをみつけるパターンの問題です。

因数分解のパターンはそれほど多くはなく特別のことをしなくても教科書に沿った問題集を繰り返し解けば入試の大概の問題は解けるようになります。

このような勉強の方針の立て方も家庭教師では伝えていきます。

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問題
次の式を因数分解しなさい。
(2x+1)(x-3)-(x+2)(x-2)-25

説明
このままでは糸口が見つからないので与えられた式を展開します。

与えられた式
=2x²-6x+x-3-x²+4-25
=x²-5x-24
=(x+3)(x-8)

なので答え (x+3)(x-8)

展開するとx²-5x-24となり
積が-24 和が-5となる2つの数を見つければいいパターンの問題です。

因数分解のパターンはそれほど多くないので特別のことをしなくても教科書の内容に沿った問題集を繰り返しやれば身につきます。
家庭教師ではそういう勉強のやり方というか方針の立て方も伝えていきます。

曇りか雨模様のお天気ですが蒸し暑いですね。
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問題
次の式を因数分解しなさい。

(a-1)(a-4)+(a+2)(a-2)
=a²-5a+4+a²-4
=2a²-5a
=a(2a-5)

答え a(2a-5)

特に共通因数が見つからないというときに一回展開してみるとaという共通因数が出てくるというパターンの問題です。因数分解もいくつかのパターンがあるのでそれをマスターすれば入試で大概の問題は解けるようになります。

そしてそのパターンの数は少なく、特別の問題集など使わなくても教科書にそって編集された問題集を繰り返し解けば十分身につきます。
家庭教師ではそういう勉強のコツも伝えていきます。

ずいぶん暑くなりましたね。コロナと暑さに負けずに頑張りましょう。

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高槻市 家庭教師ナカシマの数学の勉強44 二次方程式の解と式の値

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家庭教師ナカシマは2020年4月1日より授業料を60分2000円 90分3000円 に改定しました。これにより家庭教師がさらにリーズナブルな価格で始めやすくなりました。

授業料、家庭教師が阪急水無瀬駅またはJR島本駅からご家庭までの移動に使う公共の交通機関の交通費 もし市販の問題集を使用する場合はその実費(教材はお手持ちのものを優先的に使用)、それ以外の費用は一切かかりません。料金について詳しくはお問い合わせください。明朗会計に努めます。以上の価格はすべて税込み価格です。

今日は数学の勉強をします。

問題
二次方程式x²-2x-1=0の解のうち負の解をaとするとき
4a²-8a+5の値を求めなさい。
(問題はくわしい問題集数学中学3年より引用)

説明
負の解aと問題には書いてあります。
しかし解が負であっても正であってもそれは二次方程式

x²-2x-1=0の解であるわけですから
a²-2a-1=0は必ずなりちます。
なのでこれを変形して
a=2a+1①も必ず成り立ちます。
なので
①を与えられた式に代入すると
4a²-8a+5
=4(2a+1)-8a+5
=8a+4-8a+5
=9

なので答え9

実際に負の解を求めてそれを与えられた式に代入してももちろん計算の結果は同じになりますが
上記の方法の方が計算がはるかに楽です。

効率的に解く方法も家庭教師の授業の中ではいろいろ伝えていきたいと思います。

コロナと暑さに負けないように頑張りましょう。

大阪青凌高校が島本町に移ってから島本町内で高校生の子の姿を見ることが多くなりました。


※実際の家庭教師の授業では教材はお手持ちのものを優先的に使います。そうでない場合は入試傾向にそった市販の問題集等を使用しますので教材費はもしかかったとしても一冊あたり1000円から2000円くらいです。
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大阪府高槻市 茨木市 三島郡島本町 の家庭教師

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