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方程式の文章題の解き方60 過不足の問題

今日は方程式の文章題の解き方を練習します。

問題
ある幼稚園で園児を長いすに座らせたところ1脚に6人ずつ座ると9人が座れなかった。また、一脚に8人ずつ座ると1脚だけが5人となり誰も座らない長いすが1脚あったという。長いすの数と園児の人数を求めなさい。
(問題は文英堂シグマベストの問題集より引用)

説明
長いすがx脚あるとする。

一脚に6人ずつx脚の長いすに座ると6x人となる。
このときまだ座れない人が9人いるので合計の人数は(6x+9)人である。①

一脚に8人ずつ座ると1脚が5人座り 最後の一脚は誰も座らないので
この二脚を引くと(x-2)脚の長いすに8人ずつ座ったことになる。

一脚に8人ずつ(x-2)脚の長いすに座るとその人数は8(x-2)人になる。
このとき一脚に5人座るその5人がまだ残っているのでのでそれををたして
合計の人数は[8(x-2)+5]人となる。②

①②で表した人数は等しいので①=②で
6x+9=8(x-2)+5が成り立つ
これを解くと2x=20 x=10である。

なので長いすの数は10脚  x=10を①に代入して6×10+9=69 なので園児の人数は69人である。

答え 長いす10脚 園児69人

※この問題はやや発展問題です。
実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方59 商品の代金に関する問題 奈良 帝塚山高校

今日は方程式の文章題の解き方の練習をします。

問題
1個2750円の棚を10個、板を5枚購入する。これらを家まで送ってもらうのに送料が品物の合計金額の4%かかり、また100円未満の金額を引いてもらったので支払った金額は33200円であった。引いてもらった金額は板一枚の値段の1割より10円安かったという。
ただし、商品の価格や送料に対する消費税は考えないものとする。
(奈良 帝塚山高校)

(1)板一枚の値段をx円としたとき引いてもらった金額をxを用いて表しなさい。

(2)板一枚の値段を求めなさい。

説明
(1)板一枚x円の1割は0.1x円。それより10円安いから(0.1x-10)円
答え (0.1x-10)円

(2)棚10枚で2750×10=27500円①
   板5枚で5x円②

   棚と板の合計金額(①+②)に送料4%がかかるので送料込みの値段は
   (27500+5x)×1.04=(28600+5.2x)円

   この値段から(1)で求めた板一枚の1割より10円安く引いてもらったので支払った金額は(28600+5.2x)-(0.1x-10)=(28610+5.1x)円

この金額が問題文にあるように33200円
なので28610+5.1x=33200が成り立つ。

これを解くと 5.1x=4590 x=900 なので板一枚の値段は900円
答え 900円

感想
僕が自分で解いたとき問題文を読み違えてとんでもない数字になってしまいました。
数学はこういうときにあせってしまいます。
そういうところが数学はしんどいと思います。
なるべく落ち着いてできるように普段の学習が大切です。


※これは発展学習の問題です。


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方程式の文章題の解き方58 全体の割合と部分の割合を融合して解く問題 専修大学付属高校

今日は方程式の文章題の解き方をやります。

問題
ある高校の1年生は音楽と美術のどちらか1科目を選択することになっている。一年生全体の男女比が7:5 音楽を選択した生徒の男女比が6:5 美術を選択した生徒の男女比が5:3であった。美術を選択した生徒が200名であったとき一年生全体の生徒数は何人か。
(専修大学付属高校)


説明
美術を選択した生徒は200人。この男女比が5:3なので
男は200×5/8=125人 女は200×3/8=75人。

音楽を選択した生徒の男女比は6:5なので
音楽を選択した男6x 女5xとする。

その時、男全体の人数は音楽選択者+美術選択者で(6x+125)人
女全体の人数は音楽選択者+美術選択者で(5x+75)人である。

一年生全体の男女比が7:5なので
(6x+125):(5x+75)=7:5

外項の積=内向の積より 7(5x+75)=5(6x+125)
35x+525=30x+625
5x=100 x=20 

よって男全体の人数は6x+125=120+125=245
女全体の人数は5x+75=100+75=175

なので一年生全体の人数は男+女=245+175=420人 
答え420人

この問題は発展学習の問題です。

バレンタインデー
昨日はバレンタインデーでしたね。僕が中学生のころバレンタインデーのチョコレートはもらえる子は3つも4つももらえる、もらえない子は1つももらえないという格差が明らかでした。
僕はもらえない子のグルーブでした。
学校で下校時刻までいても一つももらえないのでさびしく下校しました。
それは、それで一つの思い出ですけれどね。
今の中高生のみなさんはどうでしょう。
スーパーマーケットなどにはいっぱいチョコレート売ってました。
家入レオさんの「チョコレート」という歌、歌詞を見るとバレンタインデーの歌です。
いい歌だと思います。

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方程式の文章題の解き方37 道のりの途中で出会う問題。 大阪商業大学高校

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今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。道のりで出会う問題です。

問題
3km離れているA駅とB駅があり、その間に公園がある。兄はA駅から毎分40m、弟は毎分60mでそれぞれ公園に向けて歩いた。二人は同時刻に出発したところ弟は兄より5分遅れて公園に到着した。A駅から公園までの距離は何mか求めなさい。〔大阪商業大学高校〕

説明
 │ーーーーーーーーー3kmーーーーーーーーーーーーーー│
A駅ーーーーーーーーーー公園ーーーーーーーーーーーーーーB駅
兄→毎分40m x分  出会う (x+5)分   毎分60m←弟

今日はちょっと頑張って罫線を利用して簡単な図を書いてみました。兄が出発してx分で公園に着いたとすると弟は同時に出発して5分遅れて公園に着いたのですから(x+5)分で公園に着くことになります。すると兄が毎分40mでx分進んだ道のりと弟が毎分60mで(x+5)分進んだ道のりの合計がA駅とB駅の道のり、つまり
3km=3000mに達した時、兄と弟の二人は出会うことになります。(毎分何mというようにmで速度が問題にしめされているので単位はmに統一します)
なので40x+60(x+5)=3000が成り立ちます。
これを解くと40x+60x+300=3000 100x=2700 x=27となります。つまり兄は毎分40mで27分進むと公園につきます。なのでA駅から公園までの距離は
40×27=1080m なので答え、1080mです。

■ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー■
昨日12月15日から年賀状の配達引受が始まりましたね。1通でも多くの年賀状を元旦に届けるために12月25日までの投函をお願いします。という書き方がしてあるので25日までに出せば絶対確実というわけではないかもしれませんがまあほぼ確実に元旦に届くのではないかと思います。僕もそろそろ年賀状を出そうかと準備しています。

僕はなぜか年賀状は毎年早めに書きます。小学生の頃、書道教室の娘さんが僕と同じクラスでした。その娘さんに年賀状の引受が始まる前に年賀状を出したら年内に届いてしまい、書道教室に行った時、その娘さんのおばあさんに「あんたの年賀状えらい早く届いたよ」とみんなの前で大きな声で言われました。僕はその時恥ずかしかったです。

そのおばあさんに悪気は全くないのはわかるのですが書道教室に行くと「あんたは、うちの孫と同じクラスやねえ」とかみんなの前ででかい声で言ったりするので僕は恥ずかしくなってその書道教室に行くのが嫌になりやめてしまいました。

今から思うとあれはひいきの引き倒しだったなあと思います。ひいきしすぎて逆にひいきした相手が不利になってしまうと言うことです。本当に恥ずかしかったのですからそれは不利になったと言えるでしょう。

まあ、決して悪い思い出と言うわけではないのですがね。僕が育った岐阜県は田舎なのでそういうのどかな思い出がいろいろあります。書道を続けていれば字がうまくなっていたのにと思うことが時々あります。
 問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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数学の文章題の解き方19 整数の問題

今日も方程式の文章題を見ることにします。整数の問題です。
問題
2ケタの整数がある。十の位の数の2倍は一の位の数より1大きく、十の位の数と一の位の数を取り替えて数字の順序を逆にすると、もとの数より18大きくなるという。もとの整数を求めなさい。

もとの整数の十の位の数をx一の位の数をyとします。十の位の数の二倍は一の位の数より1大きいのでそのまんま式にして2x=y+1①となります。
さてここでもとの数は10x+y 一の位と十の位を入れ替えると10y+xです。

これはなぜかというと、例えば十の位が2 一の位が5の数は
2×10+5=25と表され、十の位と一の位の数を入れ替えた52は
5×10+2=52と表されるからです。具体的な数で考えてみると抽象的な文字式の意味がわかりますね。

数学を学ぶと抽象的でわかりにくいことは具体的に置き換えてみようという考え方が身につきます。これは数学に関係ない場面でも人にわかりやすくものを説明したり表現したりするのに大切な力です。そんなところにも数学を学ぶ大きな意味があると思います。

話が横道にそれましたね。なのでもう一度
もとの数は10x+y 一の位と十の位を入れ替えると10y+xです。入れ替えた数はもとの数より18大きいと書いてありますから10x+y+18=10y+x②が成り立ちます。
①よりy=2x-1 ②に代入して10x+2x-1+18=10(2x-1)+x
12x+17=20x-10+x 9x=27 x=3 ①に代入してy=5 なので
求める整数は 答え35です。十の位と一の位を入れ替えると53=35+18で問題に書いてあるとおりもとの数より18大きいですね。

ずいぶん寒くなりました。マフラーをしている人の割合がぐっと増えたと思います。だんだん本格的に冬になりますね。

※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方18 合金の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。
問題
銀45%を含む合金Aと銀75%を含む合金Bをまぜて銀65%を含む合金と作る予定であったがまちがえて合金Bを3g少なく混ぜたため、銀55%を含む合金ができてしまった。はじめ合金A合金Bをそれぞて何gまぜる予定であったか求めなさい。

例えば合金を100g作る予定だったと具体的に書かれていれば合金Aをxgとすれば合金Bは(100-x)gですが、合金の合計が何gか書かれていないので
合金Aをxg、合金Bをygとします。つまり連立方程式となるわけですね。

合金Aをxgとするとそのうちの45%が銀なので銀の質量は0.45xgです。合金Bをygとすると合金Bに含まれる銀はそのうち75%なので0.75ygです。この結果合金が
(x+y)gでき問題文からそれは65%の合金なのでそこに含まれる銀の質量は0
0.65(x+y)gです。なので合金Aと合金Bの中の銀の質量に注目して式を立てると
0.45x+0.75y=0.65(x+y)①が成り立ちます。合金AとBを混ぜる前とあとでは銀の質量の合計は変わらないからです。

次に間違えて合金Bを3g少なく混ぜたというのですから合金Aはxgのまま変わらず、合金Bは3g減って(y-3)gとなりAとBの合計もBが3g減ることで(x+y-3)gとなります。合金Aが45% Bが75% それを混ぜてできた合金が55%の銀を含むことに着目すると
0.45x+0.75(y-3)=0.55(x+y-3)②が成り立ちます。
①②を連立して解いてx=2 y=4です。
なので答え Aを2g Bを4gです。

考え方は2つの異なる濃度の食塩水を混ぜる問題と同じですね。
苦手な生徒さんと勉強するときは連立方程式の解き方も基礎からやります。



※問題は文英堂くわしい問題集数学中学二年より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方15 割合の問題

今日も方程式の文章題の解き方を見ることにします。
問題
酢とサラダ油を5:7の割合でまぜて作るドレッシングがある。このドレッシングを180ml作るには酢とサラダ油を何ml用意すればよいですか。

酢をxmlとすると全体で180mlなのでサラダ油は(180-x)mlとなります。この割合が5:7というのですからそのままx:180-x=5:7です。
内項の積=外項の積を利用して5(180-x)=7x 
これを解くと900-5x=7x 12x=900 x=75 180-x=105 
なので答え、酢75ml サラダ油105ml 
75:105=5:7なので問題文のとおりとなりOKですね。

もう少し算数に近い解き方をしてみます。
5:7ということに注目して酢5x サラダ油7xとします。
5x 7xと置けば割合は必ず5:7となることに着目した置き方です。
すると酢とサラダ油合わせてドレッシング180ml作るので5x+7x=180です。
これを解くと12x=180 x=15

なので酢は5x=5×15=75ml サラダ油は7x=7×15=105ml
答え、酢75ml サラダ油105mlです。この解き方のほうがわかりやすいという人も多いかもしれません。別に数学の場合正しければよいわけなのでどちらの方法でも構いません。

何年か前に生徒さんから「証明問題はどういう書き方をすればいいの?過去問題集の解答のようにはなかなか書けないんやけど」という質問を受けました。それでその問題は大阪府の問題だったので大阪府の採点基準をネットでダウンロードして見てみたら「正しければよい」と書いてありました。これが質問に対する答えだと僕はその生徒さんに言いました。

数学では「僕は1+1=3だと思います」と意見を述べても「それは正しくない」と言われればそれで終わりです。沢尻エリカさんの場合は薬で捕まったら一発アウトやという人もいれば一発アウトはおかしいという人もいます。どちらが正しいかは今後のときの流れをみなければわかりません。ときが流れても結局どちらとも言えなかったということになるかもしれません。

しかし、数学は正しいか正しくないかがはっきりします。何が正しいかわからない世の中で数学のように正しさのはっきりする世界を味わっておくというのはきっといいことだと思いますよ。

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