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方程式の文章題の解き方65 全体に占める割合の問題 新潟明訓高校

今日は方程式の文章題の解き方を勉強します。

問題
ある本を一日目に全体の2/3のページ数を読み、2日目に残りの60%を読み終わったところ、残りのページ数は28ページにだった。この本全体のページ数を求めなさい。
(新潟明訓高校)

説明
全体のページ数をxページとする。

一日目に全体の2/3のページ数を読むので残りは全体の1/3のページ数である。

全体のページ数はxなので残りのページ数は(1/3)xページである。

二日目に残りつまり(1/3)xページの60%を読むので残りは40%
つまり(1/3)x×0.4=(1/3)x×(2/5)=(2/15)xである。

このページ数が28ページなので(2/15)x=28
これを解くとx=28×(15/2)=14×15=210

なので全体のページ数は210ページである。
答え210ページ。


やや発展学習の問題です。
読んだページ数ではなく残りのページ数に着目することが大切です。
このタイプの問題も慣れが大切です。

昨日は電車でガーベラとカーネーションを中心にこさえた花束を持った高校生の子を何人か見かけました。きっと卒業式に関連して花を持っているのではないかと思いました。そういうシーズンですね。大阪の公立高校の入試までもう少し。コロナウイルスにめげず頑張りましょう。

実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方63 代金と個数に関する過不足の問題 愛媛県

今日は方程式の文章題の解き方を勉強します。

問題
持っているお金でシュークリームを8個買うと220円余る。10個買うと1割引になるので60円余る。持っているお金は何円か求めよ。ただし、文字が何を表すかを最初に書いてから方程式を作り答えを求める過程も書くこと。
(愛媛県)

説明
シュークリーム一個の値段をx円とする。
シュークリーム8個を買うのに使う金額は8x円。

このとき220円余っているので持っているお金の総額は(8x+220)円①
シュークリームを10個買うと1割り引きになる。

シュークリーム1個x円から1割引いた値段は0.9x円 
0.9x円のシュークリームを10個買うと0.9x×10=9x円となる。
このときまだ60円余っているので持っているお金の総額は(9x+60)円②

①②の価格は持っているお金の金額で等しいので
8x+220=9x+60が成り立つ。
これを解くとx=160 

なのでシュークリーム一個の値段は160円
持っているお金の総額は①にx=160を代入して
8×160+220=1500 

なので持っているお金の金額は160円である。
答え160円


愛媛県の公立高校の入試問題です。問題そのものは標準的なレベルですが答えを求める過程も書くことと、問題で要求されると急に難しく考えてしまう子もいます。普段からなるべく丁寧に問題を解くようにすることが大切です。


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方程式の文章題の解き方62 道のりで出会う問題 東大谷高校

今日は方程式の文章題の解き方を勉強します。

問題
Aさんは家から1.8kmはなれた公園へ分速60mで歩いていく。Aさんが公園についたとき忘れ物に気づいたので、公園についてすぐに同じ速さで引き返した。Aさんが出発して29分後に兄が忘れ物を届けるために自転車に乗り分速250mで家から公園へ向かった。Aさんは家を出発してから何分後に兄と出会ったか求めなさい。
また家から何mの地点で兄と出会ったか求めなさい。
(東大谷高校改題)

説明
距離がkmとmで表されているので単位をmに統一する。
1.8km=1800m
公園まで1800mの道のりをAさんは分速60mで歩く。

なのでAさんは1800÷60=30分で公園につく。
兄はAさんが出発して29分後に家を出るのでAさんが公園についたとき
家から30-29=1分自転車で走ったことになる。

分速250mで1分走ると家から250mはなれる。
このときAさんはちょうど公園について忘れ物に気づく。
なので兄とAさんはAさんの帰り道で出会うことになる。

Aさんが家を出てx分後に出会うとする。
兄はAさんより29分遅れて家を出るのでAさんが家を出て29分経過したとき
兄は家を出て(x-29)分経過したことになる。

Aさんの帰り道に兄とAさんは出会うので
Aさんが歩いた道のりと兄が自転車で走った道のりの合計が
家から公園の往復の道のりの値になったときAさんと兄は出会う。

家から公園までの往復の道のりは片道1800m×2=3600mである。
Aさんが家から歩いた道のりは分速60mでx分歩くので60xm①

兄が家から自転車で走った道のりは分速250mで(x-29)分進むので
250(x-29)m②

①②の合計が家から公園の往復の道のり、つまり3600mになったときAさんと兄は出会うので
60x+250(x-29)=3600が成り立つ。

これを解くと
60x+250x-7250=3600 310x=10850 x=35 
つまりAさんは家を出発して35分後に兄と出会う。

なのでx-29=35-29=6
つまり兄が家を出て6分後にAさんと出会う。

つまり兄は分速250mで家から6分走ったときにAさんと出会う。

分速250mで6分進むので250×6=1500
つまり家から1500mの地点で兄とAさんは出会う。

答え Aさんが家を出発してから35分後に家から1500mの地点で兄と出会う。

この問題は道のりで出会う問題の考え方に慣れていないとちょっと難しいと思います。
慣れていれば解けると思います。慣れが大切ですね。

僕が勤めていた予備校の天王寺の校舎に東大谷高校の子がよく来ていました。

この学校の入学式のとき僕は予備校の広告宣伝物の手配りに行きました。

校舎の外の道で配布物を配っていると当時国会議員をつとめておられた
この学校の理事長が入学式を終えて出てこられて
「〇〇予備校は存じ上げておりますが、この道で手配りをするには
許可が必要なことをご存知ですか」とやんわりとおっしゃいました。

僕は恐縮してその場で配布物を片付けて帰りました。
その紳士的なものの言い方に大変感動したことを思い出します。

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方程式の文章題の解き方61 比叡山高校

今日は方程式の文章題の解き方を学習します。

問題
AさんとBさんで合わせて50羽の折り鶴を作る。1羽おるのにAさんは3分、Bさんは4分かかる。ただし、2人はそれぞれ一定の速さで休憩せずに鶴を折り続けるものとする。
このとき次の問に答えなさい。
(比叡山高校)

(1)作る鶴の数を2人に割り当てて、それぞれに割り当てられた数を作り終えるまでの時間を測ったところAさんのほうがBさんより24分多くかかった。このとき2人が作った鶴の数をそれぞれ求めなさい。

(2)作る鶴の数を割り当てずに2人が同時に作り始める場合、2人で50羽作るのにかかる最短の時間を求めなさい。

説明
(1)
Aさんがx羽 Bさんがy羽折るとする。
2人で50羽折るからx+y=50①

Aさんは一羽折るのに3分なのでx羽折るには3x分かかる。
Bさんは一羽折るのに4分なのでy羽折るには4y分かかる。

ここでAさんはBさんよりも24分長くかかったので3x=4y+24②
①②を連立して解く

①を3倍して3x+3y=150 3x=150-3y これを②に代入して150-3y=4y+24 
7y=126 y=18 ①に代入してx=32 

なので答え Aさん32羽 Bさん18羽

(2)
Aさんは3分で1羽 Bさんは4分で1羽作る。3と4の最小公倍数は12なのでAさんとBさんは12分ごとに同時に鶴をつくり終える。

12分でAさんは4羽 Bさんは3羽鶴を作る
なのでAさんBさん合わせて12分ごとに3羽+4羽=7羽の鶴を作る。

12分が7回経過すると7×7=49羽の鶴が出来上がる。
このとき時間は12×7=84分経過している。

次の50羽目はAさんがその3分後に作り終えるからかかる最短の時間は
84+3=87分である。

答え 87分。

感想
(2)は方程式でとこうとするとかえって難しくなると思います。最小公倍数に着目して鶴が出来上がる時間の規則性で考えたほうが入試のときは有利です。

特に私立高校はこういう問題がでるケースもあります。

※この問題は発展学習の問題です。

実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方57 割合と個数の問題

今日は方程式の文章題の解き方を勉強します。

問題
黒、白2種類の石がいくつかづつある。はじめ、白色の個数が全体の個数に占める割合は40%であった。白色の個数を14個減らしたところ、白色の個数が全体の個数に占める割合は25%になった。はじめにあった黒石 白石の個数をそれぞれ求めなさい。(早稲田学院高校)

説明
全体の個数をxとします。

はじめの白色の個数は全体の40%なので0.4x個です。

そこから白色を14個減らすのでその個数は(0.4x-14)個です。

白石を14個減らした結果、全体の個数も14個減るのでこのときの全体の個数は(x-14)個です。

すると白石(0.4x-14)個が全体の個数(x-14)個の25%になるので
0.4x-14=0.25(x-14)が成り立ちます。
これを解くと40x-1400=25(x-14) 15x=1050 x=70

なので白石は全体の個数70個の40%なので70×0.4=28個

残りの60%が黒石なので黒石の個数は70×0.6=42個

なので答え、黒石42個 白石28個です。

白石を14個減らすと全体の数xも14個減って(x-14)個になるところはちょっと想像力が必要と思います。

この問題は発展学習の問題です。

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方程式の文章題の解き方56 食塩水の濃度の問題 食塩水の濃度が与えられていない場合 神戸学院大学付属高校

今日は方程式の文章題の解き方を見ます。

問題
x%の食塩水Aとy%の食塩水Bがある。Aを30g、Bを20g混ぜ合わせると8%の食塩水ができる。またAを20g、Bを30g混ぜ合わせると11%の食塩水ができる。このときx、yの値を求めなさい。(神戸学院大学付属高校)

説明
食塩水全体の量とそこに含まれる食塩の量に着目して式をたてます。
x%の食塩水30gには30×x/100=0.3xgの食塩が含まれます。
y%の食塩水20gには20×y/100=0.2ygの食塩が含まれます。

その結果できる8%の食塩水30+20=50gには50×0.08=4gの食塩が含まれます。

なので0.3x+0.2y=4 ①が成り立ちます。

一方x%の食塩水20gには20×x/100=0.2xgの食塩が含まれます。
y%の食塩水30gにはy×30/100=0.3ygの食塩が含まれます。
その結果できる11%の食塩水20+30=50gには50×0.11=5.5gの食塩が含まれます。

なので0.2x+0.3y=5.5 ②が成り立ちます。

① ②を連立して解くとx=2 y=17となります。 なので答えx=2 y=17です。
つまり食塩水Aは2% 食塩水Bは17%と言うことになります。

食塩水の濃度が与えられていない分、考え方が抽象的になりますが
食塩水全体の量 食塩だけの量の2つに着目して式を立てるという定石にそって考えれば解ける問題です。

頑張りましょう。

問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方55 食塩水の濃度の問題 2つの食塩水の量の差がわかっている場合 精華高校

今日は方程式の文章題の解き方を見ます。2つの食塩水の量の差がわかっている場合。

問題
8%の食塩水と20%の食塩水を混ぜたところ17%の食塩水ができました。混ぜた量が8%の食塩水よりも20%の食塩水のほうが100g多いときそれぞれの食塩水を何g混ぜましたか。(成果高校改題)

説明
食塩水の濃度の問題は
①食塩水全体の量に着目して式を立てる。
②食塩水の中の食塩の量にだけ着目して式を立てる。

というのが定石です。
この問題も定石通り素直に解ける問題です。

8%の食塩水xg、20%の食塩水ygとします。
食塩水全体の量に着目すると20%の食塩水は8%の食塩水より100g多いので
y=x+100①が成り立ちます。

次に食塩のみの量に着目します
8%の食塩水xgには0.08xgの食塩が含まれます。
20%の食塩水ygには0.2ygの食塩が含まれます。

この結果できる17%の食塩水(x+y)gには0.17(x+y)gの食塩が含まれます。
なので食塩のみの量に着目すると
0.08x+0.2y=0.17(x+y)②が成り立ちます。
100倍して8x+20y=17(x+y)です。

これに①を代入して
8x+20(x+100)=17(x+x+100) 8x+20x+2000=34x+1700 6x=300 x=50 
なのでy=50+100=150 なので答え8%が50g 20%が150gです。

頑張りましょう。

問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方54 食塩水の濃度の問題 2つの食塩水の量の和がわかっている場合 香里ヌヴェール高校

今日は方程式の文章題の解き方を学習します。

例題
15%の食塩水xgと10%の食塩水ygを混ぜて12%の食塩水500gを作りたい。x、yの値をそれぞれ求めよ。(香里ヌヴェール学院高校)

説明
食塩水の濃度を求める連立方程式の問題は

①食塩水全体の量に着目して一つ式を立てる。

②食塩の量に注目してもう一つの式を立てる。

これが定石です。

この問題も定石通りに素直に解ける問題です。

まず食塩水全体の量は問題文に書いてあるとおり500gです。

なのでxg ygの合計は当然500gになります。

なのでx+y=500 ①が成り立ちます。

次に食塩水の中の食塩だけの量に着目します

2つの食塩水を混ぜて出来上がる12%の食塩水500gの中には500×0.12=60gの食塩があります。A
(12%なので0.12をかける)

15%の食塩水xgの中には0.15xgの食塩があります。B
(15%なので0.15をかける)

10%の食塩水ygの中には0.1ygの食塩があります。C
(10%なので0.1をかける)

A B Cより食塩だけの量に着目すると0.15x+0.1y=60 ②が成り立ちます。

①②を連立して解くと
②を100倍して 15x+10y=6000 ①よりy=500-x これを①を100倍した式に代入して
15x+10(500-x)=6000 なので15x+5000-10x=6000 5x=1000 x=200
なのでy=500-200=300となります。
なので 答え x=200 y=300です。

考え方を身につければ解ける問題です。頑張りましょう。
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方程式の文章題の解き方53 道のりの問題 神戸常盤女子高校

今日も方程式も文章題の解き方を見ます。 道のりの問題です。

問題
A町かがB町を通ってC町へ行くのにA町からB町までは自転車で時速20km、B町からC町までは歩いて時速4kmで行くと、全部で3時間かかった。また、A町からB町までの道のりはB町からC町までの道のりより6km長い。A町からC町までの道のりを求めなさい。(神戸常盤女子高校改題)

説明
A町からB町までの道のりをxkmとするとB町からC町までの道のりは問題文からA町からB町までの道のりより6km短いので(x-6)kmとわかります。時間=道のり/速度の公式に従って式を立てると全部で3時間かかったので x/20+(x-6)/4=3が成り立ちます。

両辺を20倍してx+5(x-6)=60 x+5x-30=60 6x=90 x=15 なのでx-6=9
なのでA町からC町までの道のりはA町からB町 B町からC町までの道のりの合計なので15+9=24kmです。
答え24km

道のり、速度 時間の公式に素直に従って式を立てれば解ける問題ですね。頑張りましょう。

■今日の感想
今日は雨模様の天気でしたが暖かかったですね。この冬は全体に温かいように思います。夏がくるのが怖いような気がします。

問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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方程式の文章題の解き方52 割合の問題 帝塚山学院泉ヶ丘高校

今日も方程式の文章題の解き方を見ます。

問題
ある中学校の全校生徒は600人で、生徒全体の46%がクラブに所属している。男女別に見ると男子生徒の50%、女子生徒の40%がクラブに所属している。クラブに所属している男子生徒、女子生徒の人数をそれぞれ求めなさい。(帝塚山学院泉ヶ丘高校)

説明
600人の46%がクラブに属しているのでクラブに属している生徒の人数は
600×0.46=276人です。

男子生徒の数をx人とすると、女子生徒の数は全校生徒600人から男子の数を引いて(600-x)人となります。

クラブに所属している男子生徒はx人の50%に当たるので0.5x人です。クラブに所属している女子生徒の数は(600-x)人の40%に当たるので
0.4(600-x)人です。

クラブに所属している生徒の合計は最初に見たように276人なので
0.5x+0.4(600-x)=276が成り立ちます。

これを解くと5x+2400-4x=2760 x=360となります。
なので男子は360人 女子は全体の600人から男子の数を引いて600-360=240人となります。
クラブに所属している男子は50%なので360×0.5=180人 女子は40%がクラブに所属しているのでその人数は240×0.4=96人となります。なので答え 男子180人 女子96人です。

教科書ワークをやっていれば解ける問題ですが微妙に思考力がいるように思います。なれが大切ですね。


問題は英俊社の近畿の高校入試中1・2年の復習数学より引用。実際の家庭教師の授業では原則ご家庭でお手持ちの教材を使用します。そうでない場合は個々の学力と目標に応じた市販のテキストを使用しますので教材費は一冊あたり概ね1000円から2000円程度です。なので教材費が高額になることはありません。家庭教師ナカシマの料金



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